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分享一個三角形面積公式

時尚更新时间:2024-11-19 11:16:40

衆所周知，三角形的面積=底×高÷2，這個高是底邊上高。這個公式深深紮根在我的腦海裡20餘載，我對三角形面積公式的思維也被無情地束縛了如此之久。直到有一天，我發現三角形的面積公式并不局限于“底×高÷2”，以前我所看到的隻是公式的冰山一角。下面，讓我們一起揭開“三角形面積=底×高÷2”的美麗面紗。

分享一個三角形面積公式（揭開三角形面積公式的美麗面紗）1

如圖所示，CD是△ABC的底邊AB上的高，F是以AB為直徑的圓上異于B的動點，E是AB所在直線上的點，且CE⊥BF，記AB=a，CD=h，CE=k，BF=g，求證：S△ABC=gk÷2.

證明：設CE所在的直線與AB所在的直線的夾角為α，BF所在的直線與AB所在的直線的夾角為β，則α β=90゜，sinα=cosβ 。

由題意得h=k·sinα，

a=g/cosβ，

又∵ S△ABC=0.5ah，

∴ S△ABC=0.5ah=0.5(g/cosβ)·ksinα=0.5gk(證畢)

因為F是以AB為直徑的圓上異于B的任意點，所以推廣後的公式S△ABC=gk÷2具有一般性(普遍性)。到此，我們已經把三角形的面積公式由三個特殊位置(分别以三邊為底)的面積公式推廣到了一般位置的面積公式。

将“三角形的面積=底×高÷2”推廣為“三角形的面積=廣義的底×廣義的高÷2”有什麼用呢？它的作用是：第一，可以使我們對舊三角形的面積公式有新的更全面的認識；第二，推廣後的公式具有更廣泛的應用。

例如，如圖所示，假設△ABC的頂點C與AB邊之間有障礙物(點C和邊AB完整)，求S△ABC。用舊公式就無法解決，但不影響推廣後的公式的使用。操作是：以AB為直徑向外作半圓，在圓上取适當一點F，連接FB，過C作直線垂直FB交AB的延長線與E點，測量出CE和FB，代入公式計算即可。

在一定範圍内，隻要一點和這點所對的邊，就可以測量計算出該點和其所對邊構成三角形的面積。

分享一個三角形面積公式（揭開三角形面積公式的美麗面紗）2

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