【學習目标】

1. 理解三角形及與三角形有關的概念,掌握它們的文字、符号語言及圖形表述方法．

2. 理解三角形内角和定理的證明方法毛；

3. 掌握并會把三角形按邊和角分類

4. 掌握并會應用三角形三邊之間的關系．

5. 理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學會它們的畫法．

【要點梳理】

要點一、三角形的定義

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．

要點诠釋：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的邊：即組成三角形的線段；

②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的内角，簡稱三角形的角；

③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.

（2）三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.

（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分别用b、c表示．

要點二、三角形的内角和

三角形内角和定理：三角形的内角和為180°．

要點诠釋：應用三角形内角和定理可以解決以下三類問題：

①在三角形中已知任意兩個角的度數可以求出第三個角的度數；

②已知三角形三個内角的關系，可以求出其内角的度數；

③求一個三角形中各角之間的關系．

要點三、三角形的分類

【高清課堂：與三角形有關的線段 三角形的分類】

1.按角分類：

要點诠釋：

①銳角三角形：三個内角都是銳角的三角形;

②鈍角三角形：有一個内角為鈍角的三角形.

2.按邊分類：

要點诠釋：

①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；

②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;

③等邊三角形：三邊都相等的三角形.

要點四、三角形的三邊關系

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊.

要點诠釋：

（1）理論依據：兩點之間線段最短.

（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值範圍．

（3）證明線段之間的不等關系．

要點五、三角形的三條重要線段

三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以後深入研究三角形的一些特征起着很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：

【典型例題】

類型一、三角形的内角和

1．證明：三角形的内角和為180°.

【答案與解析】

解：已知：如圖，已知△ABC，求證：∠A ∠B ∠C＝180°.

證法1：如圖1所示，延長BC到E，作CD∥AB．因為AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（兩直線平行，内錯角相等），∠B=∠2（兩直線平行，同位角相等）．

又∠ACB ∠1 ∠2=180°（平角定義），

所以∠ACB ∠A ∠B=180°（等量代換）．

證法2：如圖2所示，在BC邊上任取一點D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于點F．

因為DF∥AC（已作），

所以∠1=∠C（兩直線平行，同位角相等），

∠2=∠DEC（兩直線平行，内錯角相等）．

因為DE∥AB（已作）．

所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（兩直線平行，同位角相等）．

所以∠A=∠2（等量代換）．

又∠1 ∠2 ∠3=180°（平角定義），

所以∠A ∠B ∠C=180°（等量代換）．

2.在△ABC中，已知∠A ∠B＝80°，∠C＝2∠B，試求∠A，∠B和∠C的度數．

【思路點撥】題中給出兩個條件：∠A ∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根據三角形的内角和等于180°，即∠A ∠B ∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度數．

【答案與解析】

解：由∠A ∠B＝80°及∠A ∠B ∠C＝180°，

知∠C＝100°．

又∵ ∠C＝2∠B，

∴ ∠B＝50°．

∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．

【總結升華】解答本題的關鍵是利用隐含條件∠A ∠B ∠C＝180°．本題可以設∠B＝x，則∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．

【高清課堂：與三角形有關的角 例1、】

舉一反三：

【變式】已知，如圖 ，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數.

【答案】

解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A

設∠A=x

則∠C=∠ABC=2x

x 2x 2x=180°

解得：x=36°

∴∠C=2x=72°

在△BDC中， BD是AC邊上的高，

∴∠BDC=90°

∴∠DBC=180°－90°-72°=18°

類型二、三角形的分類

3.一個三角形的三個内角分别是75°、30°、75°，這個三角形是（ ）

A 銳角三角形 B 等腰三角形 C 等腰銳角三角形

【答案】C

舉一反三

【變式】一個三角形中，一個内角的度數等于另外兩個内角的和的2倍，這個三角形是（ ）三角形

A 銳角 B 直角 C 鈍角 D無法判斷

【答案】C

【解析】利用三角形内角和是180°以及已知條件，可以得到其中較大内角的度數為120°，所以三角形為鈍角三角形.

類型三、三角形的三邊關系

4. (四川南充)三根木條的長度如圖所示，能組成三角形的是( )

【思路點撥】三角形三邊關系的性質，即三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．注意這裡有“兩邊”指的是任意的兩邊，對于“兩邊之差”它可能是正數，也可能是負數，一般取“差”的絕對值．

【答案】D

【解析】要構成一個三角形．必須滿足任意兩邊之和大于第三邊．在運用時習慣于檢查較短的兩邊之和是否大于第三邊．A、B、C三個選項中，較短兩邊之和小于或等于第三邊．故不能組成三角形．D選項中，2cm 3cm＞4cm．故能夠組成三角形．

【總結升華】判斷以三條線段為邊能否構成三角形的簡易方法是：①判斷出較長的一邊；②看較短的兩邊之和是否大于較長的一邊，大于則能構成三角形，不大于則不能構成三角形．

舉一反三：

【變式】判（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那麼邊AC的長可能是下列哪個值（　　）

A．11 B．5 C．2 D．1

【答案】B．

解：根據三角形的三邊關系，

6﹣4＜AC＜6 4，

即2＜AC＜10，

符合條件的隻有5，

故選：B．

5.若三角形的兩邊長分别是2和7,則第三邊長c的取值範圍是_______.

【答案】

【解析】三角形的兩邊長分别是2和7, 則第三邊長c的取值範圍是│2-7│<c<2 7,即

5<c<9．

【總結升華】三角形的兩邊a、b，那麼第三邊c的取值範圍是│a-b│<c<a b.

舉一反三：

【變式】(浙江金華)已知三角形的兩邊長為4，8，則第三邊的長度可以是________(寫出一個即可)

【答案】5，注：答案不唯一，填寫大于4，小于12的數都對．

類型四、三角形中重要線段

6. （2016春•江蘇月考）在△ABC中，畫出邊AC上的高，下面4幅圖中畫法正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C；

【總結升華】銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都有三條高，并且三條高所在的直線交于一點．這裡一定要注意鈍角三角形的高中有兩條高在三角形的外部．

舉一反三：

【變式】如圖所示，已知△ABC，試畫出△ABC各邊上的高．

【答案】

解：所畫三角形的高如圖所示．

7.如圖所示，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，BC＝8cm，求邊AC的長．

【思路點撥】根據題意，結合圖形，有下列數量關系：①AD＝BD，②△BCD的周長比

△ACD的周長大3．

【答案與解析】

解：依題意：△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，

故有：BC CD BD-(AC CD AD)＝3．

又∵ CD為△ABC的AB邊上的中線，

∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．

又∵ BC＝8，∴ AC＝5．

答：AC的長為5cm．

【總結升華】運用三角形的中線的定義得到線段AD＝BD是解答本題的關鍵，另外對圖形中線段所在位置的觀察，找出它們之間的聯系，這種數形結合的數學思想是解幾何題常用的方法．

舉一反三：

【變式】如圖所示，在△ABC中，D、E分别為BC、AD的中點，且

，則

為________．

【答案】1

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