魏爾斯特拉斯，1815 年10 月31 日生于德國威斯特伐利亞地區的奧斯登費爾特；1897年2 月19 日卒于柏林。魏爾斯特拉斯的父親威廉是一名政府官員，受過高等教育，頗具才智，但對子女相當專橫．魏爾斯特拉斯11 歲時喪母，翌年其父再婚．他有一弟二妹；兩位妹妹終身末嫁，後來一直在生活上照料終身未娶的魏爾斯特拉斯．由于其父多次遷居，魏爾斯特拉斯上過幾所小學．1829 年，他考入帕德博恩的天主教文科中學．該校創建于公元820 年，曆史悠久．他成績優異，年年得獎，在拉丁文、希臘文、德文和數學四科中，表現尤其出色．1834 年夏畢業時，他是獲得甲等畢業文憑的三人之一．威廉要孩子長大後進入普魯士高等文官階層，因而于1834 年8 月把魏爾斯特拉斯送往波恩大學攻讀财務與管理，使其學到充分的法律、經濟和管理知識，為謀得政府高級職位創造條件．魏爾斯特拉斯不喜歡父親所選專業，于是把很多時間花在大學生自由自在的放縱生活上，例如擊劍、宴飲、夜遊．他在這些方面也是首屈一指的．他的專業興趣在于數學．當時J．普呂克在波恩執教，但他忙于各種事務，不可能抽暇進行個别教學，所以魏爾斯特拉斯從他那裡獲益不多。

在校期間，魏爾斯特拉斯研讀過拉普拉斯的《天體力學》和C．G．J．雅可比的《橢圓函數新理論基礎》．前者奠定了他終生對于動力學和微分方程論感興趣的基礎；後者對他當時的數學水平稍難了些．他還鑽研過J．斯坦納的一些論文．事實上，後來他成為斯坦納數學論著的編纂者．不過，這段時間中N．H．阿貝爾是他最大的鼓舞泉源．他在晚年緻S．李(Lie)的信中曾說，在1830 年的《克雷爾雜志》上讀到阿貝爾緻A．M．勒讓德的信，“在大學生涯中對我無比重要．從确定λ(x)(這是阿貝爾引進的函數)滿足的微分方程來直接導出該函數的表示形式，這是我為自己确立的第一個數學課題；我有幸得到了這個問題的解，這促使我下定決心獻身數學．我是在第7 學期作出這個決定的．”這就是說，約在1837 年底，他立志終生研究數學．1838年秋，他令人驚訝地放棄成為法學博士候選人，因此在離開波恩大學時，他沒有取得學位。

4 年大學，耗費巨大，未得學位而歸，自然使父親極度不滿．幸虧父親的一位愛好數學的朋友出來調解，建議把魏爾斯特拉斯送到明斯特附近的神學哲學院，然後參加中學教師任職資格國家考試．魏爾斯特拉斯遂于1839 年5 月22日在該院注冊．他在該院遇見了使他終身銘記的Ch．古德曼．古德曼熱衷于研究橢圓函數，其基本思想是把函數展開為幂級數，這正是魏爾斯特拉斯的解析函數論的基石．1839—1840 學年上學期，聽古德曼第一堂課的有13 人，可第二堂起隻剩下魏爾斯特拉斯一人，師生促膝談心，相處融洽．古德曼還為這位唯一的學生講授解析球面幾何學。

1840 年2 月29 日，魏爾斯特拉斯報名參加國家考試，考試分筆試、口試兩部分．他有半年時間就主考指定的3個論題寫作論文．古德曼應魏爾斯特拉斯的請求為筆試出了一個很難的數學問題：求橢圓函數的幂級數展開式．他對自己學生所寫的論文給予高度評價，說所提問題對“一位年輕的分析學者來說是很難的”，但論文表明作者“足以列入戴以榮譽桂冠的發現者隊伍之中”，“為作者本人，也為科學進展着想，我希望他不會當一名中學教師，而能獲得更為有利的條件，……以使他得以進入他命定有權跻身其中的著名科學發現者隊伍之中．”可惜學院負責人十分保守，對這一評價未予重視。

1841 年4 月，魏爾斯特拉斯通過口試；1841 年秋至1842 年秋在明斯特文科中學見習一年．1840 至1842 年間，他寫了4 篇直到他的全集刊印時才問世的論文“關于模函數的展開”、“單複變量(其絕對值介于給定的兩個界限之間)解析函數的表示”、“幂級數論”和“借助代數微分方程定義單變量解析函數”．這些早期論文已顯示了他建立函數論的基本思想和結構，其中有用幂級數定義複函數，橢圓函數的展開，圓環内解析函數的展開[早于P．A．洛朗(Laurent)兩年]，幂級數系數的估計[獨立于A．L．柯西]，一緻收斂概念以及解析開拓原理。

1842 年秋，魏爾斯特拉斯轉至西普魯士克隆的初級文科中學．除數學、物理外，他還教德文、曆史、地理、書法、植物，1845 年還教體育！繁重的教學工作使他隻能在晚上鑽研數學．科研條件極差：鄉村中學沒有象樣的圖書館；校内沒有可以與之讨論的同事；經濟拮據，無力訂閱期刊，甚至付不出郵資．或許這對他這樣自強不息的人也有好處，可以潛心錘煉自己獨特的觀念和方法．他曾在學校刊物上發表“關于解析因子的注記”．此文表明以前研究同一問題的數學家未能洞察問題症結何在．但這種刊物上的文章當然不會引起世人注意。

1848 年秋，魏爾斯特拉斯轉至東普魯士布倫斯堡的皇家天主教文科中學．該校擁有較好的圖書館，校長也很友善．魏爾斯特拉斯在該校年鑒(1848／49)上發表了“關于阿貝爾積分論”，這是一篇劃時代的論文，可惜仍然無人覺察．1853 年夏，魏爾斯特拉斯在父親家中度假，研究阿貝爾和雅可比留下的難題，精心寫作關于阿貝爾函數的論文．這就是1854 年發表于《克雷爾雜志》上的“阿貝爾函數論”．這篇出自一個名不見經傳的中學教師的傑作，引起數學界矚目．A．L．克雷爾說它表明作者已可列入阿貝爾和雅可比的最出色的後繼者行列之中．J．劉維爾稱它為“科學中劃時代工作之一”，并立即把它譯為法文刊載于他創辦的《純粹與應用數學雜志》上．雅可比的繼任者、柯尼斯堡大學數學教授F．裡歇洛(Richelot)說服校方授予魏爾斯特拉斯名譽博士學位，并親赴布倫斯堡頒發證書．當時任《克雷爾雜志》主編的C．W．博爾夏特(Borchardt)趕赴布倫斯堡向魏爾斯特拉斯緻賀，從此開始了兩人長達20 多年的友誼，直至博爾夏特謝世。

1855 年秋，魏爾斯特拉斯被提升為高級教師并享受一年研究假期．1856 年6 月14 日，柏林皇家綜合工科學校任命他為數學教授；在E．E．庫默爾(Kummer)的推薦下，柏林大學聘任他為副教授，他接受了聘書．11 月19 日，他當選為柏林科學院院士．1864 年成為柏林大學教授．在柏林大學就任以後，魏爾斯特拉斯即着手系統建立數學分析(包括複分析)基礎，并進一步研究橢圓函數論與阿貝爾函數論．這些工作主要是通過他在該校講授的大量課程完成的．幾年後他就名聞遐迩，成為德國以至全歐洲知名度最高的數學教授．G．米塔-列夫勒(Mittag－Leffler)于1873 年從瑞典去巴黎，想在Ch．埃爾米特指導下研究分析．可是埃爾米特對他說：“先生，你錯了！你應當到柏林去聽魏爾斯特拉斯講課．他比我們都強．”果然，米塔-列夫勒抵柏林後不久就作出了關于亞純函數的重要發現。

魏爾斯特拉斯于1873 年出任柏林大學校長，從此成為大忙人．除教學外，公務幾乎占去了他全部時間，使他疲乏不堪．緊張的工作影響了他的健康，但其智力未見衰退．他的70 華誕慶典規模頗大，遍布全歐各地的學生趕來向他緻敬．10 年後80 大壽慶典更加隆重，在某種程度上他簡直被看作德意志的民族英雄．魏爾斯特拉斯與C．B．科瓦列夫斯卡娅的友誼，是他後期生活中的一件大事．1870 年秋，年方20，聰慧美麗的科瓦列夫斯卡娅見到了55 歲的魏爾斯特拉斯．後者發現了她的優異天賦，試圖說服柏林大學評議會同意她聽課，但遭拒絕．于是他就抽出業餘時間為她免費授課，每周兩次，一直持續到1874年秋．這期間他待她親如子女，并幫助她以關于偏微分方程的著名論文在哥廷根取得學位．1888 年，科瓦列夫斯卡娅以剛體繞定點運動的研究獲得巴黎科學院大獎，對他是極大慰藉．兩年後她的去世則是對他的一個沉重打擊，以緻他燒毀了她寫給他的全部信件以及他收到的不少其他書信。

1897 年初，魏爾斯特拉斯染上流行性感冒，後轉為肺炎，終至不治，于2月19 日溘然長逝，享年82 歲．除柏林科學院外，魏爾斯特拉斯還是哥廷根皇家科學學會會員(1856)、巴黎科學院院士(1868)、英國皇家學會會員(1881)．魏爾斯特拉斯生前便決定在其學生協助下出版他本人的論著，1894 和1895年分别出版了他的全集的第1，2 兩卷．按照他的遺願，1902 年首先出版了關于阿貝爾函數論的第4 卷，1903 年出了第3 卷．第5 卷是《橢圓函數論講義》，第6 卷是《橢圓函數論在幾何與力學中的應用》，出版于1915 年．1927 年出版了第7 卷《變分法講義》．原定第8—10 卷是他關于超橢圓函數的工作、《橢圓函數論講義》第2 版和函數論，但迄今仍未問世．全集前3 卷共收論文(其中有一部分講演)60 篇．他緻P．杜布瓦-雷蒙、L．富克斯和柯尼斯伯格的一些信件，發表于《數學學報》。

數學分析算術化的完成者

魏爾斯特拉斯在數學分析領域中的最大貢獻，是在柯西、阿貝爾等開創的數學分析嚴格化潮流中，以ε－δ語言，系統建立了實分析和複分析的嚴謹基礎，基本上完成了分析的算術化．然而，由于他是通過課堂講授完成這一任務的，沒有發表有關論著，所以對研究他在這一領域的工作帶來了困難。

實數論

魏爾斯特拉斯很早就認識到，為使分析具備牢靠的基礎(例如無懈可擊地證明連續函數的性質)，必須建立嚴格的實數論．他于1857 年開始講授的解析函數論等課程，總要在第一階段花很多時間闡明他關于實數的理論．為從自然數定義正有理數，他引進正整數的“恰當部分”的概念．數a是數b 的一個“恰當部分”，如果b是由等于a 的一些元素構成的集合．正有理數定義為單位的恰當部分的有限整線性組合，或有限集．通過定義“容許變換”，他使同一有理數的不同表示式得以化歸為相同的分母，然後他引進由無窮多個元素構成的集合，通過引進“部分”概念定義這類集合之間的相等．這就是他的無理數概念的基點．由此他定義實數的四則運算與次序關系，證明它們所滿足的規律以及實數的十進小數表示式．稍後，H．C．R．梅雷、G．康托爾、R．戴德金以及E．海涅分别于1869，1871，1872，1872 年各自獨立地給出了無理數定義，建立了嚴格的實數論。

ε－δ語言

H．A．施瓦茲、G．黑特納和G．蒂姆分别整理的魏爾斯特拉斯于1861 年講授的《微分學》、1874 年講授的《解析函數論導引》和1886 年講授的《函數論選題》的筆記，呈現了他用ε-δ語言定義分析基本概念與論證分析基本定理的輪廓．魏爾斯特拉斯說，對于函數f(x)，“如果能确定一個界限δ，使對其絕對值小于δ的所有h 值，f(x h)－f(x)小于可以小到人們意願的任何程度的一個量ε，則稱所給函數對應于變量的無窮小改變具有無窮小改變．”他由此給出函數連續的定義，證明閉區間上連續函數的介值性質和有界性質．在定義微分學基本概念時，他還以

給出導數的另一種定義．他嚴格證明了帶餘項的泰勒公式，稱它為“整個分析中名副其實的基本定理”．對于函數項級數，他引進了極其重要的一緻收斂概念。由此闡述并證明了關于連續函數項級數的和函數的連續性以及函數項級數逐項微分與逐項積分的定理，幾乎與現在分析教科書中所寫内容完全一緻。

在建立分析基礎過程中，魏爾斯特拉斯引進了R 與Rn中一系列度量和拓撲概念，如有界集、無界集，點的鄰域，集的内點、外點、邊界點，集和序列的極限點，連通性等．他證明了有界無限集必有極限點(現稱為波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理)，并通過極限點證明了有界數集上、下确界的存在性與數列上、下極限的存在性。

在1886 年的授課中，他還指出G．F．B．黎曼關于定積分的定義限制過多，并把積分概念推廣到在一個可數集上不連續的有界函數．這是走向具有完全可加性的現代積分概念的一個正确嘗試。

魏爾斯特拉斯的嚴格性

引進一緻收斂概念，是魏爾斯特拉斯的嚴格性的一個例證．海涅于1869 年說，在此以前，人們(包括柯西在内)對收斂函數項級數可以逐項積分都深信不疑，“是魏爾斯特拉斯先生首次注意到，這條定理的證明……還基于一緻收斂性”．G．H．哈代(Hardy)在分析了G．G．斯托克斯(Stokes)、P．L．賽德爾(Seidel)與魏爾斯特拉斯的一緻收斂概念後說，“隻有魏爾斯特拉斯清楚地、自覺地看出了一緻收斂作為分析基本概念的極端重要性”．對于狄利克雷原理的批評，是其嚴格性的又一例證．該原理斷定：

連續函數中，存在使得狄利克雷積分

達到最小值的函數u0(x，y)，而u0必在D内調和，從而是狄利克雷問題的解．

1870 年，魏爾斯特拉斯在柏林科學院發表題為“關于所謂狄利克雷原理”的講演，一針見血地指出D[u]構成的集具有下确界并不蘊涵在所考慮的函數集中存在u0使D[u0]等于這個下确界．他還舉出了一個令人信服的簡單例子．給出處處連續但處處不可導函數的例子，也是其嚴格性的一個突出例證．魏爾斯特拉斯于1872 年在柏林科學院的一次演講中提出了函數:

​

他于1874年一封信中把這個例子告訴了杜布瓦-雷蒙，後者于次年在《克雷爾雜志》上發表了這個例子，從而引出了以後一系列關于函數具有“反常”性态的發現．魏爾斯特拉斯在分析中的另一重大工作是證明閉區間上的連續函數可以用多項式一緻逼近和周期為2π的連續函數可以用三角多項式一緻逼近．這兩條定理後來有許多廣．毫無疑義，魏爾斯特拉斯的嚴格性最突出的表現是通過ε－δ建立整個分析體系．随着他的講授和他的學生的工作，他的觀點和方法傳遍歐洲，他的講稿成為數學嚴格化的典範．F．克萊因(Klein)在1895 年魏爾斯特拉斯80 大壽慶典上談到那些年分析的進展時說，“我想把所有這些進展概括為一個詞：數學的算術化”，而在這方面“魏爾斯特拉斯作出了高于一切的貢獻”．D．希爾伯特認為：“魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深遽的洞察力，為數學分析建立了堅實的基礎．通過澄清極小、函數、導數等概念，他排除了微積分中仍在湧現的各種異議，掃清了關于無窮大和無窮小的各種混亂觀念，決定性地克服了起源于無窮大和無窮小概念的困難．……今天……分析達到這樣和諧、可靠和完美的程度，……本質上應歸功于魏爾斯特拉斯的科學活動．”魏爾斯特拉斯的嚴格化也遭到一些人反對，最突出的是L．克羅内克(Kronecker)．他對算術化進行了激烈的、刻薄的抨擊，甚至否認象處處連續處處不可導函數這樣的例子有任何意義。

解析函數論的奠基人

魏爾斯特拉斯以其富有獨創性的方法，首次以不依賴于幾何直觀的嚴格方式闡述和論證了複變函數論，使這一19 世紀中成就最輝煌的數學分支進入了深入發展的階段．他在這方面的工作不僅見諸論文，而且更多體現在他講授的課程中。

解析性、解析開拓與完全解析函數

整函數與亞純函數

多複變函數論

魏爾斯特拉斯的函數論

魏爾斯特拉斯與柯西、黎曼同為複變函數論的奠基人，但在方法與途徑上并不相同．他建立解析函數論的原意是作為他關于阿貝爾積分與阿貝爾函數一般理論的導引．現在看來，他的主要目标反倒退居次要地位，而他的嚴格的、批判的、犀利的觀念，以及他所提供的一般性理論和方法，則成為他對這一領域的主要貢獻．在這方面，他與黎曼明顯不同．黎曼以狄利克雷原理為基礎建立他的著名的映射定理，而魏爾斯特拉斯對狄利克雷原理的批評使這個原理和黎曼強有力的方法幾乎一蹶不振．直到1899 年，希爾伯特的工作才使它們得以“複活”．在談到黎曼面時，魏爾斯特拉斯說他“不能接受這是函數論真正基礎”的提法，雖然他也承認這種方法“具有數學想象力”．在一般方法論上，他說：“我越是思考函數論——這是我不斷研究的領域——的各種原理，就越确信它必須建立在簡單的代數真理的基礎上；誰如果不是把它建立于簡單而基本的代數命題，而是借助于‘直覺’(我用這個詞來概括描述)，誰就走上了歧路，不管乍一看它多麼有吸引力，例如黎曼那樣，他通過這種方法發現了代數函數那麼多重要的性質．”不過他也強調在研究時可以采用多種渠道，他講的“隻是關于應當怎樣建立系統的理論基礎問題”．克萊因在比較這兩位數學家時說過：“黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才勝過所有同代數學家．……魏爾斯特拉斯主要是一位邏輯學者，他緩慢地、系統地逐步前進．在他工作的分支中，他力圖達到确定的形式．”H．龐加萊寫道，魏爾斯特拉斯使“整個解析函數論成為幂級數理論的一系列推論，因而它就被建立在牢靠的算術基礎上”，“黎曼的方法首先是一種發現的方法，而魏爾斯特拉斯的則首先是一種證明的方法”．到19 世紀末，德文“Funktionenlehre”幾乎已成為按照魏爾斯特拉斯的觀念建立的複變函數論的同義詞，但也有人持有異議．S．李(Lie)批評德國沒有象樣的幾何學家，他把這種狀況歸咎于魏爾斯特拉斯學派占據統治地位．克萊因在肯定算術化同時也強調數學決不會由邏輯推導完成，直觀總是具有特殊重要性．康托爾甚至提出人們應當區别魏爾斯特拉斯實際所做的工作與圍繞着他樹立起來的神話。

在數學其他領域中的貢獻

橢圓函數論與阿貝爾函數論

變分法

代數

魏爾斯特拉斯對同時化兩個二次型為平方和給出了一般方法．他建立了矩陣的初等因子理論，實際上比C．若爾當早兩年給出了現稱的若爾當标準形；他完成了二次型理論并把它推廣到雙線性型．他于1861 年得到了關于線性結合代數的一個基本結果(發表于1884 年，)：具有有限個原始單元的實或複線性結合代數，如果滿足乘積定律和乘法交換律，就必是實數構成的代數或複數構成的代數(戴德金約于1870 年得到同樣結果，并于1885 年發表)。

卓越的大學數學教師

刻苦鑽研、嚴謹治學

如前所述，在當中學教師的15 年中，盡管教學任務繁重，工作條件很差，魏爾斯特拉斯仍堅韌不拔、孜孜不倦地鑽研數學，經常達到廢寝忘食的程度．例如一天早上，他該去上課的教室中起了騷動，校長走去一看，原來是教師未到．校長趕快去魏爾斯特拉斯的寝室，發現他還在燭光下苦苦思索，根本不知道天色早已大明．1850 年起，他患了眩暈症，常持續一小時以上，直到一陣摧人心肺的嘔吐後才見消退．這種腦痙攣症折磨了他十餘年，但他頑強地堅持教學和研究．實際上，在當中學教師年代，他是以犧牲健康為代價從事數學研究的．他在柏林大學仍承擔巨大的教學工作負荷．1860 年3 月，在一次講課中他突然暈了過去．1861 年底他完全病倒，在近兩年中一直未能回到科學工作上來．他患有支氣管炎和靜脈炎，經常發作．但隻要有可能，他就堅持上課，常常隻能坐着講授，讓優秀學生書寫黑闆．他總是推遲發表自己的工作，倒不是因為厭惡發表，而是力求以嶄新的途徑，使結論建立在牢固的基礎上．他反複推敲自己的觀念、理論和方法，直到他認為已達到它們理應具有的自然完美的方式為止，所以他正式發表的論文數量并不多．魏爾斯特拉斯富有詩才．他曾說過，如果一個數學家不是某種程度上的詩人，他就永遠不會成為一個完整的數學家．但有點奇怪的是，不像很多數學家喜歡音樂一樣，他讨厭音樂．他是天主教徒，但在宗教觀點上不走極端。

無與倫比的大學數學教師

魏爾斯特拉斯是古往今來最出色的大學數學教師之一．從1856 年至1890年的68 個學期中，他每學期都有課，其中約有1/4 的學期每周授課2 門8 學時；約有一半學期講授2 門課程．他講授的課程計有：橢圓函數論，橢圓函數論在幾何和力學中的應用，阿貝爾函數論，解析函數論，變分法，幾何學，函數論選題，用幂級數表示解析函數，分析引論，積分學，行列式及其應用，雙線性型和二次型，齊次函數論，解析幾何學，數學物理，分析力學，分析光學．從1861 年5 月起，他還與庫默爾一起創辦了柏林大學第一個數學讨論班，此後持續不斷，讨論他們開創的新觀念和新理論．當然，重要的不在于上了多少課，而在于培養的學生的狀況．大學教學的目的是培育善于思考、富于創造力的人才．在這方面，魏爾斯特拉斯的成功可以說是無與倫比的．他善于用一種不可言傳隻能意會的精神激發學生的興趣和創造欲．他講課時不誇大其辭、嘩衆取寵．他關心學生，循循善誘，慷慨地指給學生論文課題，在讨論班上不斷提出富有成果的想法，使之成為學生研究的主題，甚至把自己尚未發表也未留紀要的手稿借給學生，而有的學生拿去後竟不再歸還．魏爾斯特拉斯的受到學生高度推崇的講授并非一蹴而就而是長期磨煉形成的．開始時，他講的課比較混亂，有時令人費解．後來，他的課越講越好，新的思想樸實無華自然而然地湧現，使他講授新理論的名聲傳遍全歐，聽課人數激增．1869 年講阿貝爾函數，注冊時為107 人，但後來聽衆竟達250 人，不少人隻得席地而坐．在他的學生(包括參加讨論班的人)中，後來有近100 位成為大學正教授．考慮到當德國大學正教授的難度，這實在是一個驚人數字．他的學生中有一大批後來成為知名數學家，其中有P．巴赫曼(Bachmann)、O．博爾查(Bolza)、F．恩格爾(Engel)、G．弗羅貝尼烏斯(Frobenius)、K．亨澤爾萊因、W．基靈(Killing)、克内澤爾、柯尼斯伯格、科瓦列夫斯卡娅、M．萊爾赫(Lerch)、F．默滕斯(Mertens)、H．闵科夫斯基(Minkowski)、米塔-列夫勒、E．内托(Netto)、A．普林斯海姆(Pringsheim)、C．龍格(Runge)、F．朔特基(Schottky)、施瓦茲、O．斯托爾茨(Stolz)等．也有少數人批評說，在魏爾斯特拉斯讨論班上，絕大多數參加者把他的理論奉為圭臬，很難發表不同意見．克萊因就說過他與李在讨論班上常不得不為捍衛自己觀點而戰鬥．龍格說，魏爾斯特拉斯在其連續性課程中“自下而上地構築了完美的數學大廈，其中任何想當然的、未經證明的東西沒有立足之地”．這是對魏爾斯特拉斯講授的一個很好的概括。

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