Σ是求和公式，也是歐拉大神所創，上面給出的式子叫幾何級數，什麼叫級數呢？

簡單說，級數就是把數列各項用加号連接起來的函數，比如幾何級數就是：

這貨跟幾何有什麼關系呢？為什麼叫幾何級數，以r=2為例吧，話不多說直接上圖：

這是一個面積為2的正方形，可以分割成如圖的一些小矩形的面積之和，按這樣切割的順序一直加下去，便有了：

當然可能會有同學質疑說這麼一直加下去怎麼就等于2了呢？為什麼不是小于2？

利用等比數列求和公式：

當n無窮大時，我們認為：

不用糾結這個，因為這便是最好的結果。

當然如果實在說服不了自己的話，就換個思路想，這個算式的結果不可能大于2吧，也無法說明其小于2，如果小于，小多少呢？所以隻能承認

這是阿基米德說的。

類似這樣的思路，考慮設計：

在這裡，大正方形的面積為1，綠色部分和黃色部分是對對稱的兩部分，足以說明：

再來個

大正方形的面積為1，所以最後的結果是1/3！

幾何級數因為是無限相加，所以也叫無窮級數，如果“級數”這個詞看着别扭，就理解為是無窮個數相加好了。既然是加法當然我們要求結果啦，求不出結果的式子其存在毫無意義，所以會有求不出結果的式子嗎？

還真的有！

S=1-1 1-1 1-1 ……

S的值為多少？

法1：S=（1-1） （1-1） （1-1） ……=0

法2：S=1 （-1 1） （-1 1） ……=1

法3：S=1-（1-1 1-1 1-1 ……）=S，∴S=0.5

哇塞，竟然想出了三種方法！

哇塞，三種方法的結果居然還不一樣！

那哪個是正确答案？感覺這三個看起來都有道理，作為一門嚴謹的學科，最怕感覺這麼回事，因為感覺是不講道理的，偏偏數學要以理服人。

其實這三種做法都用到了“加法結合律”！什麼是加法結合律，這應該是小學内容了吧：a b c=a （b c）

在計算加法的時候可以先把後面的部分先加起來，但要注意的是，我們所說的計算都是有限個數的計算，而我們上面的題目可是求一個無窮級數的結果，所以問題就出在這裡！

我們不能拿有限數的計算方法用在無限當中，這便是我們沒有感覺出有差别的地方。講真，察覺不出這一點很正常，但不要習以為常，對于計算的每一步，請考慮是否完全等價！

所以以上都不是正确答案，這個算式沒有答案。在無窮的世界裡會有很多我們想象不到的結果，比如整體可以等于部分，比如說無窮也分可數與不可數等等，所以出現這樣沒有結果的結果也不用太意外了。

那什麼樣的無窮相加才會有結果呢？我們想要的結果當然是一個數咯，稍微分析一下我們就會發現，這串數列後面的數必須得越來越小，在無窮處趨近于零，即我們所謂的極限為0，這樣才能有個結果。

正如前面所舉的例子：

這些當n趨近于無窮大時，結果都為0，這樣才有可能得到一個數字作為結果，像這樣的級數稱為是收斂的。

反觀1 1 1 1 ……，結果便隻能是無窮大，并不能得到一個确定的數字。像這樣的級數我們稱為是發散的。

那是不是隻要滿足這一串相加的數列的極限為0就好了呢？

計算：

這個級數我們稱為叫調和級數，一直加下去，結果會是多少呢？

感覺一下？

結果等于正無窮，因為

所以想要結果有多大就有多大，也就是說即便這串數列的極限為0也不能保證一定由結果。

再比如還可以這麼解釋：

所以調和級數是發散的。

因而數列極限為0僅僅是必要條件（想要有結果必須得滿足這個），還不夠充分（即便滿足這個也不一定有結果），并不能保證一定有個結果。

不過既然是必要條件，說明還是會有一些例子是可以求得結果的。

著名的“貝塞爾”問題

首先這個結果肯定不會無窮大，用我們初中知識便可以解決：

歐拉大神說：

什麼？這玩意怎麼和π還有關系！

因為sinx/x的解集為

考慮x²項系數對應相等，即有：

雖然證明過程還略有不完善之處，但瑕不掩瑜。

作為一個問題的完整回答，必須得再補上問題的正解，對于級數

記：

這裡的Sn稱為前n項和，既然是求和，不妨一步一步來，我們想要的結果是一個确定的數值，那就從前n項和的規律來探讨。

當n趨近于無窮大時，若Sn的極限存在，則此極限便是無窮級數的結果。

所以所謂的無窮相加的結果，即是前n項和的極限，若極限不存在，則亦不存在相加的結果。

在無窮面前，我們的想象力确實有一點渺小。

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