“B事件發生的條件下，A事件發生的概率”?

"在A集合内有多少B的樣本點"？

“在B約束條件下，A發生的概率變化為？”

“B事件中的一個樣本點，同時也落在A樣本點集合的概率是多少”

“将B作為樣本空間，則A的概率變為多少”

1.條件概率在古典概率中到底該怎麼被定義？

2.從交事件AB來推導條件概率公式

3.在考研古典概率中，條件概率公式的一些不足

4.在現實生活中如何理解條件概率？

一、條件概率在古典概率中到底該怎麼被定義？

我們經常把條件概率定義為“B事件發生的條件下，A事件發生的概率”，這個定義如果一開始就扔出來，往往會對後面的學習産生誤導。

因為B事件發生可以看作是“随機事件B中的一個基本樣本點的發生”，但是古典概率中樣本點都是平等的，所以是不可能互相産生影響的。也就是說事件B中的一個基本樣本點，就古典概率來講，對A事件中包含的任意樣本點都不會産生關系。

這個推論可以總結為“古典概率的所有樣本點之間都是等概率的，都是平等的”

其實這就是古典概率的兩條定義之一，那到底在古典概率中，應該怎麼定義條件概率呢？

其實應該定義為

“B随機事件中包含的任意一個樣本點，也同時屬于A事件的樣本點集合的概率”

那為什麼要這樣定義呢，還是需要從交事件P(AB)的計算中來推導。

二.從交事件AB來推導條件概率公式

交事件的意思就是“A、B同時發生的概率”，如果我們知道P(A)和P(B)那麼如何計算P(AB)呢？

許多人都想到直接相乘：

但是P(AB)真的一定等于P(A)乘P(B)嗎？

這裡其實隐藏了一個條件就是：事件A和事件B兩者沒有任何關系，隻有這樣才能直接相乘。

但是古典概率的各個樣本點之間的關系是

“古典概率各個樣本點事件互為互斥事件”

這意味着什麼呢？意味着發生了事件A中的一個樣本點，則事件A集合之外的樣本點一定會不會發生。

這也就是說如果事件A，B存在于一個樣本空間，那麼從古典概率的角度來看，它們之間就是一定存在聯系的，不能這樣直接乘。

那應該怎麼做呢？我們還是從V-N圖的思路來想，P(AB)可以看作是從樣本空間任意選取一個樣本點，正好落在AB的重複交合區域的概率。

*那麼我們已經知道P(A)的概率了，也就是“在空間中任意選取一個點，落在A的概率”，如果我們把範圍再縮小一次，也就是說我們可以得知，在A集合内有多少B的樣本點，這樣一個比例，然後用P(A)去乘這個比例，就可以得到最終結果P(AB)。

（注意：我們需要得知的不是“存在于A中，也同時存在于B中的而樣本點個數”，而僅僅需要得知一個比例值（如果知道前者，就不需要計算這麼麻煩，直接古典概率定義就好））。

這個比例值就是條件概率：

所以條件概率的定義出現：

“B事件中的一個樣本點，同時也落在A樣本點集合的概率是多少”

可見，在古典概率中，如果用“B事件發生的條件下，A事件發生的概率”這種定義，是不容易推導出條件概率的公式定義的，必須從交事件來推導，但這種推導也會産生一個小疑惑。

三.在考研古典概率中，條件概率公式的一些不足

根據我上文之前的推導，我們可以推導出這樣的公式：

這個公式，可以看作是，事件A,B的發生順序，對AB同時發生是沒有影響。

這是因為古典概率中的事件發生，都可以看作是集合運算，而集合運算交換律，計算順序不影響結果。

但是在現實世界就不不一定是這樣的了。

四.在現實生活中如何理解條件概率？

在現實世界我們遇到很多事件，是具有順序性的，比如零件組裝，如果事件B先執行，那麼事件A可能就做不了，這應該怎麼設計事件呢。

答案是沒法設計，因為這是古典概率本身的定義導緻的缺點，如果遇到這樣的事件你就不可以使用古典概率來預測了，需要換模型了。

那麼就單純談古典概率中的條件概率，我們可以理解為：

“B事件中的一個樣本點，同時也落在A樣本點集合的概率是多少”

“如果B事件必然發生，則A事件也跟着B事件發生的概率是多少”

由此推出了v-n圖理解，可以看作是樣本空間的縮小。

“将A作為樣本空間，則B的概率變為多少”

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