當我們從事幾何學運算的時候，我們自己就進入了一個不朽的世界裡，我們擺脫了在現實世界中生存的所有偶然性和變化。當我們從事幾何思考的時候，我們就擺脫了輪回，超越了存在的偶然性，我們跟不朽站在一起了。

主講人：複旦大學教授 王德峰

關鍵詞：科學 哲學 本質

我們現在來讨論這樣三個判斷，并且看一看它們之間的相互關系：

第一個判斷：“這是一個方桌”，方桌就是方的桌子；

第二個判斷：“凡方的事物必有四個直角”，一定有四個直角；

第三個判斷：“方之為方在于有四直角”。

第一個判斷無疑是一個個别判斷，對某一個事物所做的判斷——這是一個方桌；第二個判斷，“凡方的事物必有四直角”，我們可以把這樣的判斷稱為全稱判斷，把這個世界上所有的方的事物都網羅進來了；

我們再來看第三個判斷，“方之為方在于有四直角”，這個判斷既不是個别的判斷，也不是普遍的全稱判斷。為什麼？因為它沒有指向任何事物，它隻讨論方性本身，這個判斷跟前面兩個判斷的不同之處在哪裡呢？

前面兩個判斷都指向實際存在的事物，第一個判斷指向一個個别存在的事物；第二個判斷，指向所有的方的事物。一句話，指向實際存在的東西。

第三個判斷，它不指向這個世界上的任何事物，它隻讨論方之為方，或者說隻讨論方性本身——這個判斷就屬于幾何學判斷。前面兩個判斷是實際的經驗判斷，第三個判斷，跟世界上存在不存在方的東西沒關系，幾何學的判斷就是這樣的判斷。

我們現在來讨論一下，這三個判斷之間的關系，誰依賴誰？

按照我們以前學過的哲學教科書中的哲學認識論，應該說第二個判斷依賴第一個判斷，我們先要有大量的個别事物的判斷，我們才會有第二個判斷——所有方的事物必有四直角。這就是說，第二個判斷依賴于第一個判斷，那麼第三個判斷情況怎麼樣？第三個判斷又依賴于第二個判斷——凡方的事物，把事物拿掉，那就是方之為方了，必有四直角。

我們以往恐怕是這樣想這三個判斷的關系。

當我們這樣想的時候，正把事情想颠倒了，倘若我們心中沒有純粹的方的觀念，也就是對方性本身的觀念，我們如何可能把世界上的事物區分出一類叫方的事物？假如我們不能區分出一類方的事物，我們又怎麼可能把這個個别的事物判斷為方桌呢？事情的真相究竟是什麼？

事情的真相是：第三個判斷是第二個判斷的前提，第二個判斷是第一個判斷的前提。

在這裡我們恐怕遇到了困難，遇到了理解上巨大的困難，這是哲學學習中的正常現象，也就是要求打破常識框架。

各位恐怕一定會問，第三個判斷，也就是“方之為方必有四直角”，那麼我們心中怎麼會有方性的領會的呢？這種對方性的領會又來自哪裡？這個追問是正常的，我們說方性不是來自對方的事物的大量觀察結果的概括，這點毫無疑問來的。我們能觀察到方的事物不同于圓的事物，是我們心中已經有方形和圓形的區分了。

現在的問題是：我們心中怎麼會本有方性和圓性的區分？這來自哪裡？這是問到要害處了。

方和圓是空間關系，空間關系怎麼來到我們心中？我們就來說明這樣一個道理。

比方說我們都知道三維空間，三維空間可以用笛卡爾坐标系來表達，x軸和y軸構成一個平面，如果在x軸和y軸的起點上又豎一個豎直向上的軸叫z，那麼x、y、z三根軸，就構成一個三維立體空間。現在我們要問：

三維空間是你眼睛看到的嗎？你眼睛能看得到空間嗎？你看到的是空間中的事物，而你把這些事物按照上、下、左、右、前、後的位置關系來把握了。

原來，空間是我們把握外部被感知到的事物之間的關系的一個我們内心的結構。

我們在這裡停頓一下：第一、我們不可能看到空間本身，我們隻可能看到空間中的事物，而空間本身其實是我們整理外部事物的方式，我們把這個事物看成是在那個事物的前面；那個事物在這個事物的後面，這叫前、後；還有左、右，還有上、下，這是我們人心安排事物，是感知事物的那種位置關系的形式。

這種位置關系的形式是賦予我們的感知的一種形式，它不是我們的對象，空間中的事物才是我們的對象。空間從來不可能是我們感知的對象，我們應該這麼說：我們是以空間的方式感知事物。

那麼下面又要問：我們以空間的方式感知事物、感知對象，我們感知世界萬物的空間方式又來自哪裡？回答是：來自我們的操作、動作，簡言之——來自我們的實踐。

假如我們把一個嬰孩放在童車上，成人有事情要做，就把這個小孩放在童車裡了，這個小孩很寂寞，那麼可以給他玩具。假定我們在他的童車上樹立一個架子，在這個架子上用一根線下懸一顆球，紅色的球，因為紅色這種顔色突出，容易被嬰孩注意到，現在這小孩有事可做了，他的手要伸過去抓這個紅球。

一開始他抓不到，要經過多少次失敗之後他終于能夠成功地抓到了紅球，他一次又一次地抓，後來每一次成功率都提高。我們要知道在這個過程中發生了什麼事？三維空間進入了他内心。三維空間怎麼會成為我們感知事物的方式的呢？因為我們首先跟事物打交道了，就像小孩用手去抓紅球一樣。

跟事物打交道就是馬克思哲學裡講的實踐。實踐是認識的源泉和基礎。這句我們都聽說過。實踐其實不光是認識的内容的源泉和基礎，實際上還是認識的形式的源泉和基礎。

空間就是一種認識形式，也就是我們感知事物的形式，它也來自實踐。在實踐中，種種認識的形式便植入我們内心。

幾何學就隻讨論“空間”這種形式本身，而對它的讨論是可以用理性來進行的，理性自己就可以對這些形式做出判斷，而不管這種形式在現實世界中存在與否。假如世界上根本沒有三角形的事物，幾何學家照樣讨論三角形。

我們還知道幾何學的發展，後來有一次重大的進步，那就是非歐幾何的形成——非“歐幾裡得幾何”，簡稱非歐幾何。

有兩位幾何學家不約而同地創立了這樣一種非歐幾何，一個叫黎曼，一個叫羅巴切夫斯基。他們突破了歐幾裡得的幾何學，而非歐幾何所描述的空間形式，完全超出我們三維空間的直觀。在非歐幾何的著作中，所描述的空間形式、位置關系，在這個世界上也是一樣看不到摸不着的。

非歐幾何不是他們頭腦的怪想，不是他們的奇思妙想的産物。非歐幾何的物理意義很快就确認了——倘若物理學是要研究、要觀察、要描述宇觀世界和微觀世界，我們通常在宏觀世界中，比宏觀世界尺度更大的叫宇觀世界；還有基本粒子運動的世界，叫微觀世界。歐幾裡得幾何學适用于宏觀世界，一旦到了宇觀世界和微觀世界，就必須運用非歐幾何。

在大尺度的宇宙空間中，光線是彎曲的，這隻能用非歐幾何來描述，這樣的事情說明了什麼？幾何學家盡管可以去讨論他們從來沒有感知到的那種形式、那種空間關系，可他們怎麼會讨論到這樣的空間關系呢？是因為他們在幾何學自己的理性的基礎上繼續往前走，運用理性的推論提出了非歐幾何。

他們做這樣的事情，根本不需要來自現實世界中的經驗上的根據，這是理性自己在前進。理性往前推論，推出來的東西早晚有一天現實世界會印證它——現在沒有得到印證沒關系，将來會印證。

古希臘哲學的精神就是這樣起步了。

我們先前提到過古埃及，古埃及有非常豐富的幾何知識。他們豐富的幾何知識來自哪裡呢？原因在于尼羅河定期的泛濫，當時的土地已經私有化了，經過尼羅河泛濫之後，土地與土地之間的地界的界标被沖掉了，于是他們必須在每一次泛濫結束之後重新丈量土地。重新丈量土地的需要，讓古埃及人發展出非常豐富的幾何知識，那時候就有希臘的哲人到古埃及學習這個學習那個，包括學習他們的幾何知識。

但是幾何知識不等于幾何學的成立。

希臘人比古埃及人跨了更大的一步，把幾何做成了一門純粹理性的學問，而古埃及人隻是有幾何知識。

中國人也有豐富的幾何知識。我們聽說過一個定理叫勾股定理，西方人稱之為畢達哥拉斯定理。不同的民族不約而同地發現，但是我們不能因此說，我們中國有真正的幾何學。

中國人在這一點跟古埃及人一樣，隻是有幾何知識，并沒有幾何學。幾何學的成立取決于它領會到它自己的原則，這個原則就是：不借助對外部事物的觀察、測量，自己能推出一整套的公理、推理和推論，它是理性在展開自己的隐秘的判斷。

我們應該承認這一點：隻有古希臘人才真正地發展出一門幾何學來，其他民族都隻是曾經有過不同程度的幾何知識。

我們剛才說了古希臘人将幾何學做成了一門純粹理性的學問，現在我們就沿着“純粹理性”這個概念，繼續來讨論這個問題。

我們通常會認為數學跟其它的學問一樣，總是從感性經驗當中汲取出來它的一般形式，但希臘人不是這麼想的。希臘認為數學所讨論的數量關系和空間關系都來自理性自身，并不借助于外部經驗世界的證實，不是從外部吸取而來。因此他們要強調這個概念:pure reason,也就是純粹理性。凡是純粹理性所做的判斷，裡面都沒有感覺材料，因為它毫無感覺成分在其中，所以它被稱為純粹的。

就像我們先前已經說過的，這樣有一個世界就被從感覺世界中區分出來了，這個世界叫可知世界；我們平時感覺到、經驗到的世界叫可感世界，在可感世界中事物總是變化，生生滅滅；而可知世界的事物不變，它不朽。三角形三内角之和等于180度，這件事情不會發生變化。可感世界的事物始終在變，可知世界的事物不生不滅。

于是幾何學的研究、幾何學的演算，成了一件怎樣的事呢？成為這樣一件事：

當我們從事幾何學運算的時候，我們自己就進入了一個不朽的世界裡，我們擺脫了在現實世界中生存的所有偶然性和變化。當我們從事幾何思考的時候，我們就擺脫了輪回，超越了存在的偶然性，我們跟不朽站在一起了。

正因為如此，當阿基米德在他的屋前的沙地上演算一道幾何題的時候，羅馬士兵沖過來了，羅馬軍隊占領了他的家鄉，沖過來的羅馬士兵要殺阿基米德。阿基米德跟羅馬士兵說你們等一等，等我把這道題演算完畢你們再動手吧。

阿基米德面對死亡，卻如此的坦然，為什麼？當他在演算幾何題的時候，他已經跟不朽站在一邊了。對于古希臘的數學家來說，數學的研究沒有任何實用的功利的目的，它是靈魂最高的享受，靈魂最高的享受就是——靈魂跟不朽在一起。靈魂因為它的理性的運用，它本身就成了不朽的了，它擺脫了生與死區分、擺脫了對死亡的恐懼，擺脫了存在的偶然性、擺脫了輪回。

所以畢達哥拉斯學派特别有重大的意義，這個學派在數學、數論上的貢獻、幾何學上的貢獻，同時也是哲學的貢獻。他們用這個方式來完成自己的終極關懷，人生的終極關懷。

在數的世界裡，也是在不朽的世界裡，數與數之間的和諧比例的關系是不朽的，它就是宇宙的構造本身。畢達哥拉斯學派就是這樣斷言了，這是哲學的斷言，是對世界的理解，有了這種理解才産生科學。

科學是從哲學的母體裡分化出來的。

我們可以想一想，西方近代以來的自然科學的一個基本特征是什麼？它把它所研究的自然狀态要成功地放到數學公式裡去，放成功了，自然狀态的奧秘就算被揭示了。如果某一種自然狀态不能成功地被放到一個數學公式裡去，這個自然狀态就還沒有被把握好，這就是近代自然科學的特征。這個特征來自哪裡？它的思想的淵源就是畢達哥拉斯的數的宇宙觀。

當我們今天去看西方近代以來的自然科學的共同特征的時候，我們就會發現：那是量化地描述自然狀态。自然狀态應當符合數學的理性，因為它本來就在數學的理性中。這就是畢達哥拉斯這個古老的哲學學派，今天仍然具備的意義。這是一條哲學上的信念。倘若沒有畢達哥拉斯學派的“數”的宇宙觀，怎麼會有今天的量化的自然科學呢？

我們從這個例子裡就可以清楚地看到，哲學與科學的關系。

我們中國人也有自己的科學，我們中國的自然科學不是量化的，不是要求把自然狀态放到數學公式裡去。

各位如果學過物理學的話，一定還記得物理學的第一堂課就是學習測量，為什麼？物理學當然是門經驗科學，它建立在觀察的基礎上。實驗的物理學家始終在實驗室裡觀察着，什麼是觀察？觀察就是測量。假如你從未測量過什麼，你等于根本沒觀察過什麼，請注意這一點。物理學講的經驗觀察，實際上就是對事物的測量，測量就本身表明：要求把被觀察的對象數學化。

今天的物理學家區分為兩類人，一類是實驗的物理學家，一類是理論的物理學家，他們之間是一種分工。實驗的物理學家在實驗室裡面做實驗，倘若他們的幸運使他們在實驗室裡發現了一種前所未有的自然狀态，他們就會寫實驗報告，描述這種新發現的自然狀态，這個描述方法就是一連串的數據。

實驗報告出來了，交給理論物理學家。理論物理學家從來不做實驗，也從不到實驗室裡去，他們憑的是一個頭腦，一張紙，一支筆。

現在，理論物理學家得到了實驗物理學家的報告，報告宣稱一種從未發現過的自然狀态被發現了，于是理論物理學家在描述這個自然狀态的一連串的數據中尋找其中的規律，運用數學的理性把這些數據做成數學公式，假如做成功了，一條物理學新定律就來了。假如總是沒有辦法把這一連串的數據放到一種數學公式裡的話，理論的物理學家就會跟實驗的物理學家這樣宣布：你去檢查你的實驗吧，你所謂新發現的自然狀态是根本不存在的。

實驗的物理學家果然去檢查他的實驗了，會發現他有許多數據是錯的，他的實驗過程發生了差錯，這種差錯倒是理論物理學家發現的。理論物理學家為什麼能發現實驗物理學家的實驗有差錯呢？因為實驗物理學家所報告的那些數據無法放入數學公式裡，這就是這兩類物理學家的關系。

西方近代的科學觀念就是如此，近代以來，一門學問的科學的程度取決于它運用數學的範圍和深度。比方說在社會科學的領域裡，有一門叫經濟學，它認為自己是所有社會科學當中最符合科學的标準的，因為它能運用科學。

如果你要進入，比方說到複旦大學經濟學院讀書，你就得考數學。經濟學的研究要求對經濟現象建立數學模型。在社會科學當中，凡是能運用數學做工具的學科，便自認為自己符合科學的标準。這樣一種關于“科學之為科學”的标準的思想，其淵源處就在畢達哥拉斯的“數”的宇宙觀裡。

思想繼續前進

畢達哥拉斯學派如此回答宇宙的本原問題，但是問題并沒有解決，因為數雖然是擺脫了可感事物對它的束縛，但同時它總是用來整理可感事物，而不能用來讨論完全超感覺的事物。所以真正的超感覺的世界，它的真理并不停留在數學的真理中，所以古希臘的思想要繼續前進。

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