19世紀初，歐洲數學界已經尋覓了幾百年，卻仍未找到五次方程的通解。伽羅瓦的一紙證明，潑滅了學界的希望，但也同時拉開了現代代數學的帷幕。

1832 年，自知将死的伽羅瓦奮筆疾書，洋洋灑灑地寫了一篇幾乎半個世紀都沒人看懂、隻有 32 頁紙的論文，并時不時在一旁寫下“我沒有時間”。第二天，他毅然參與決鬥并不幸身亡，一個瘦弱卻極富激情的天才就這樣走了，他才 21 歲！之後的 14 年裡，始終沒有人能徹底弄明白伽羅瓦寫的到底是什麼。包括那個時代最頂尖的數學家、物理學家——高斯、柯西、傅裡葉、拉格朗日、雅可比、泊松⋯⋯他們無一人能真正理解伽羅瓦的理論。誰也沒有想到，這個 21 歲毛頭小夥子的絕筆理論，開創了現代代數學的先河。“跳出計算，群化運算，按照它們的複雜度而不是表象來分類，我相信，這是未來數學的任務。”伽羅瓦留下的這句話，直至今天，仍然像閃電一樣劃過夜空。群論：現代代數學的來臨為什麼數學家對五次方程如此迷戀？因為在五次方程的求解過程中，數學家們第一次鑿開了隐藏在冰山下的現代科學，将數學帶入了精妙絕倫的現代群論。群論開辟了一塊全新的戰場，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，并把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一個嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展産生了巨大影響。群論的出現，同樣奠定了 20 世紀的物理基礎。從此，統治人類近 200 年的牛頓機械宇宙觀開始邁入随機和不确定性的量子世界和廣袤無垠的時空相對論。一場空前偉大的科學革命如疾風驟雨般降臨，甚至延續至今。如今的物理和數學顯然已經無法想象沒有群論的日子，算術和拓撲的交融是現代數學中一個極其神秘的現象，伽羅瓦群則在其中扮演着重要的角色。認真觀察伽羅瓦群與拓撲中的基本群，會發現兩者十分相似。為了更深入地理解拓撲本質，20 世紀數學界頂級天才格羅滕迪克提出了今天仍然神秘的 Motive 理論，而伽羅瓦的理論在這裡可以看作零維的特殊情況。另一種不同角度的觀點則認為，伽羅瓦群（基本群）完全決定了一類特殊的幾何對象，這是格羅滕迪克提出的 anabelian 理論。而在代數數論中，伽羅瓦群是最核心的對象，它與“表示論”的融合則是另一個現代數學的宏偉建築——朗蘭茲綱領的夢想，其與上面提到的 Motive 理論也是有機結合在一起的，它們共同構成了我們稱之為算術幾何領域中壯闊的綱領藍圖。五次方程：有沒有求根公式？我們重新回到群論源頭的那個曆史難題：一般的五次方程是否有通用的根式求解？這本質上涉及的是數學史上最古老也最自然的一個問題：求一元多次方程的根。早在古巴比倫時期，人們就會解二次方程。任何二次方程 ，現在我們會熟稔地運用其求根公式 進行求解。而三次方程和四次方程的求解，直到 16 世紀中期才被解決，中間跨越了三千多年的悠悠歲月，最後在塔爾塔利亞、卡爾達諾、費拉裡等數學大師的明争暗鬥下，三次方程求解公式——卡爾達諾公式誕生。四次方程的求解則比人們預想的要快得多，費拉裡十分機智地學會了師傅卡爾達諾的三次方程根式解法，巧用降階法獲得四次方程的根式解法。對此，數學家們野心膨脹，開始相信所有的一元多次方程都能找到相應的求解公式。然而，就當所有人都認為五次方程的解法會接踵而至時，之後的兩百多年間卻隻有寂靜。最先為五次方程求解提供新思路的是數學界的“獨眼巨人”歐拉，他把任何一個全系數的五次方程轉化為 的形式。歐拉自認為可以找出五次方程的通解公式，最終卻一無所獲。與此同時，數學天才拉格朗日也在廢寝忘食地尋找五次方程的通解公式。借鑒費拉裡将四次方程降階為三次方程的曆史經驗，他如法炮制。遺憾的是，同樣的變換卻将五次方程升階為了六次方程。自此，數學家的腳步被五次方程這一關卡死死攔住，尋找一元多次方程通解公式的進展一度陷入迷局。而有關多次方程的争論，當時主要集中在了如下兩大問題上。（1）對 次方程，至少都有一個解嗎？（2） 次方程如果有解，那麼它會有多少個解呢？數學王子高斯出馬了。1799 年，他證明了每個 次方程都有且僅有 個解。于是，他推論出五次方程必然有五個解，但這些解都可以通過公式表達出來嗎？撥開迷霧之後，這個難題仍然浮現在人們眼前，五次方程究竟是否有通解公式的疑問依舊困擾着人類，揮之不去。一波三折：蒙塵的天才1824 年，阿貝爾發表了《一元五次方程沒有代數一般解》的論文，首次完整地給出了一般的五次方程用根式不可解的證明，這是人類第一次真正觸碰到五次方程求解的真谛。面對這個來自北歐的無名小子，數學家們紛紛搖頭，根本不相信這個難題能就此被解答。柯西收到論文後，将此棄之一旁，随意地丢進了辦公桌的某個抽屜裡；高斯則在輕輕掃了一眼後，隻留下一句“這又是哪種怪物”的評論。盡管這位稀有的天才最終沉疴纏身，因病去世，他的論文卻成功揭示了高次方程與低次方程的不同，證明了五次代數方程通用的求根公式是不存在的。阿貝爾的這一證明使數學從此掙脫了方程求解和根式通解的思想束縛，颠覆性地提出，一個通過方程系數的加減乘除和開方來統一表達的根式，并不能用來求解一般的五次方程。可如何區分、判定哪些方程的解可以用簡單的代數公式（系數根式）來表達，哪些方程又不能呢？這一問題，阿貝爾并沒有給出完美的答案。直到伽羅瓦橫空出世，高次方程的求解才真正墜落凡塵。1830 年，19 歲的伽羅瓦用一篇論文打開了一個更為廣闊的抽象代數世界。他引入了一個新的概念——群，以一種更完整而有力的方式，證明了一元 次方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為可解群（有限群）。由于一般的一元 次方程的伽羅瓦群是 個文字的對稱群 ，而當 時 不是可解群，這就是導緻四次方程可解，而五次方程等高次（大于四次）方程不可解的根本原因。伽羅瓦以絕世才華打開了隐藏幾百年的“群論”領域，他興奮地把他的論文交給了當時的數學大師柯西，結果與阿貝爾得到的待遇并無兩樣，柯西答應完轉眼就忘記了，甚至把伽羅瓦的論文摘要也弄丢了。伽羅瓦又将方程式論寫成三篇文章，自信滿滿地提交資料參加數學大獎，然而資料被送到傅裡葉手中後，傅裡葉沒多久就去世了，伽羅瓦的論文再次蒙塵。伽羅瓦在泊松的鼓勵下向法國科學院遞交了新的論文，兩面派的泊松卻又說伽羅瓦的理論“不可理解”。年輕氣盛、滿腹才華的伽羅瓦怒火中燒，覺得數學這個領域沒什麼意思，當即把全部力量投入政治運動中，且說出“如果需要一具屍體來喚醒人民，我願意獻出我的”這樣的激烈言辭。數理領域的頂尖天才變成了新時代的憤青，對世界充滿了憤怒。随後的機緣巧合，讓伽羅瓦在政治活動中偶遇了他生命中的女神，并為其神魂颠倒，赴湯蹈火。這是一個有夫之婦的神秘女子，她的丈夫同伽羅瓦的性格如出一轍，狂暴易怒，兩人為此争吵決鬥。最終，伽羅瓦在決鬥中不幸死去。或許是神靈對伽羅瓦的命運有所愧疚，冥冥中讓伽羅瓦在死前整理遺稿，并将成果托付給了他的朋友奧古斯特·謝瓦利埃。朋友不負囑托，把遺稿寄給了高斯與雅可比，卻沒有得到回應。到了 1843 年，法國數學家劉維爾慧眼識才，不僅肯定了伽羅瓦的群論思想，還将一元五次方程無解的根本原因公布于衆。至此，伽羅瓦的天資與貢獻才被世人所知。伽羅瓦群：代數學新篇章事實上，當初的阿貝爾和伽羅瓦并沒有證明五次多項式方程無解，而是證明了一件更為微妙的事，即假定了這些解的存在，但代數運算操作（加減乘除與開任意次方）都不足以表達這些解。回想一下，前面提到低次方程的解都能隻用代數運算操作表達。而在這個證明過程中，伽羅瓦表現出了他的驚世才華，敏銳地洞察到了多項式的解的對稱性可以由多項式本身觀察到而不必求解，而這一對稱性本身完全決定了其解是否存在根号表達式。通過觀察這些公式，伽羅瓦注意到，按任意方式排列這些根，如把 、 對調，并不會改變這一表達式，各項會以不同的方式排列，但總和始終不變。五個數字有 120 種不同的排列方式，因此一個标準的五次多項式有 120 種對稱方式。為了描述這種對稱性，伽羅瓦創造了群的概念。根據由 120 種排列方式組成的群不允許出現方程要求的塔形子群，伽羅瓦證明出一個有根式解的五次多項式方程可允許的最高排列是 20。這樣，伽羅瓦實際上就解決了阿貝爾沒有解決的問題，為确定哪些多項式方程有根式解而哪些沒有提供了明确的判别标準。假如現在你面前有一個多項式，它的伽羅瓦群有不超過 20 個元素，那它就有根式解。發現了伽羅瓦群這一解決五次方程的制勝秘訣後，伽羅瓦繼續披荊斬棘，成功地證明了當 時 次交錯群是非交換的單群，是不可解的。而一般的 次方程的伽羅瓦群是 次對稱群的子群，因而一般五次和五次以上的方程不可能用根式解就是其一個直接的推論。如果到這裡覺得畫面還是有些模糊，那我們再詳細地解讀下。設 是域 上一個不可約多項式，假定它是可分的。作為 的分裂域 ， 對于 的伽羅瓦群實際上就是 的根集上的置換群，而 在 的中間域就對應于解方程 的一些必要的中間方程。方程 可用根式解的充分必要條件是 對于 的伽羅瓦群是可解群。所以當 時 次交錯群不可解。伽羅瓦這套使用群論證明的絕技最終成功破解了方程可解性的奧秘，清楚地闡述了為何高于四次的方程沒有根式解，而四次及四次以下的方程有根式解，甚至借此完成了一次縱向穿越，解決了古代三大作圖問題中的兩個，即“不能三等分任意角”和“倍立方不可能”。這些都為數學界做出了巨大的貢獻，有關“群”“域”等概念的引入更是抽象代數的萌芽。因此，人們将伽羅瓦的成果整理為伽羅瓦理論。伽羅瓦理論發展至當代，它已然不負人們的期望，成為當代代數與數論的基本支柱之一，功勳卓越。法國數學家畢卡在評述 19 世紀的數學成就時，曾如是說：“就伽羅瓦的概念和思想的獨創性與深刻性而言，任何人都是不能與之相比的。”回望五次方程問題的解決過程，群論、域論交相輝映，迂回曲折，也難怪當時學界頂級的審評大師們如墜雲裡霧中。這場用汗水和生命澆灌出來的理論之花終于在三次方程求解成功的三百多年後綻放，曾經困擾了人類千百年來的高階謎團也終被伽羅瓦理論一并解答。

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