對于曲線下的陰影面積,可以表示為一個函數F(x),現在的問題是,如何構建函數表達式?
陰影面積可以使用黎曼積分的一元方程,通過分割、近似、求和、取極限去計算,但過程繁瑣,且一些情形無法通過此方法計算出。
面積函數F(x)與曲線函數肯定存在某種特殊關系。
首先考慮如何計算以下曲線下的陰影面積,如果h→0,以下陰影面積相當于就是函數F(x)的微分dxF'(x)(dx=h):
直接從導數的公式推導:
驚奇發現,F(x)的導數竟然是f(x)。這就是微積分的第一基本定理:
對于曲線以下陰影部分的面積,從微積分第一基本定理,F(a)是曲線下直線ma左邊的面積,F(b)是曲線下直線nb左邊的面積,F(b)-F(a)就是陰影部分的面積。
以上就是微積分的第二基本定理,用于定積分的計算:
微積分的兩個基本定理,描述了面積函數與曲線函數的導數與反導數關系,讓定積分的計算有了一般的表達式。
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