說到矩陣，我們可能會立刻想到線性代數。

線性代數，不僅是大學理工科本科生的必修課，也是工作中十分有用的理論工具。

例如在機器學習、圖像處理、機器人導航、自動控制等領域，線性代數都有着十分廣泛的應用。理解并學會運用它，是十分劃算的。

但是，線性代數并不友好。

對于很多初學者而言，雖然期末考試可以考個八九十分，但在整個學期的學習過程中，往往從第一節課開始，從頭到尾，自始至終，心中都充斥着幾個字，那就是，

“莫名其妙”。

很多概念，好像都是無中生有地出現在課本上，前不着村後不着店，讓人感覺非常虛無缥缈。雖然我們憋屈地通過死記硬背，解決了作業和考試的問題，但實際上，對于知識本身來說，我們往往跟沒學差不多，考後一個月内，立即忘得一幹二淨。

那麼，問題究竟出在哪？為什麼線性代數如此難以理解？

好，為了理清思路，我們先來研究一個問題。

在研究這個問題之前，我們先來介紹一下，

什麼是矩陣。

比如，

這就是一個兩行三列的矩陣，記作2×3的矩陣。

當然，也有三行兩列的矩陣，比如：

這裡，矩陣中的元素都是實數，因此稱為實矩陣。當然，也可以填入複數，那就是複矩陣。

為了方便，我們往往将一個矩陣用大寫字母來表示，比如：

這就是教科書上的矩陣了。

那麼現在，我有一個很自然的疑問，就是，

矩陣它為什麼是這樣方的？為啥是矩形的？

有人說，老王，你是不是來搗亂的？這有啥可研究的？

矩陣為啥是方的，那當然是因為數學界把它定義成方的啊！

所謂定義，就是“規定”，

你可以這樣定義，也可以那樣定義。

比如，

3×5，

表示五個三相加。

這個“叉”的含義，就是定義出來的，你完全可以把3×5定義成5個3相減。但是，這種定義方式就不是數學界所使用的了。

好，既然這個矩陣，它是被定義成方形的，那麼，請問，

為什麼不定義成别的形狀？

比如，三角形：

有人說，因為矩形好看。

我認為三角形也挺好看啊。

有人說老王你不要糾纏這種問題好不好，你到底是來幹什麼的？

事實上，不是我無聊啊，而是，我翻開書，大腦中第一個問題就是這個問題！

你說，矩陣定義成這個東西，那麼，你這本書起碼要給點說法不是？

否則，當然會讓人産生莫名其妙，無中生有的空虛感。

好，有人說，我想起來了。

之所以矩陣被定義成矩形，是因為，矩陣是用來表示方程組的，

一個方程組就對應一個矩陣，而一個矩陣就對應一個方程組。

比如，

這是一個二元一次方程組，而在消元的過程中，x和y實際上并沒有發生任何變化，因此我們可以直接将x和y的系數拿出來，組成一個“數組”，即：

增廣矩陣

這，叫作方程組的“增廣矩陣”。

所以，很多人就認為，

一個矩陣就對應一個線性方程組，而且，矩陣就是方程組的系數。

有這種理解是很正常的，因為幾乎所有教科書第一章第二章都在折騰方程組嘛，所以，很多人在學習矩陣的時候，就是用這條思路學下去的。

但是，如果你一旦陷入這套原理，那麼你會發現，整個學習過程，都将是十分難受，十分便秘的，很多概念完全無法理解。

我随便舉幾個例子。

比如，

相似矩陣。

說，有兩個矩陣，A和B，如果你找得到另外一個矩陣P，使得這仨哥們滿足：

那麼，我們就說，A和B相似。

（P-1指的是P的逆，反正也是個矩陣，這個以後再說）

注意，這個相似的英文就是similar，就是長得像的意思。

好，如果我們陷入矩陣就是方程組的思維，那麼，矩陣相似，應該是兩個方程組相似了？

方程哪有相似的說法呢？？？

真是一頭霧水，莫名其妙。

又比如，還有一套著名的概念：

矩陣的特征值和特征向量。

也就是說，矩陣它有特征，而且有幾個數字，可以代表矩陣的特征。

難道方程組還有特征？

是不是又覺得很莫名其妙。

這樣的例子簡直是多如牛毛，不勝枚舉。

那問題到底出在哪？

實際上，這個問題，跟我們教科書有一定的關系；跟我們的課堂，也有一定的關系。

我不知道是不是很多老師覺得我剛才問的那幾個問題太簡單了，不屑于在課堂上講。但實際上，我覺得，解答這些問題是非常重要的。

就是，

我們一定要在一開始，讓大家覺得，這些東西是很自然的，而不是需要死記硬背的。

那麼，為什麼矩陣有這麼多相關概念，卻又難得理解呢？

是因為我們理解的方法錯了。

首先，

矩陣就不一定表示方程組的系數。

而是，

矩陣隻是一堆數字的陣列，僅此而已。

矩陣的定義，無需引入方程組。你讓矩陣的這些數字代表什麼，它就可以代表什麼。

比如，我統計每天上午和下午的工作時間，連續統計了三天，分别是，

上午1小時，下午4小時；

上午2小時，下午5小時；

上午3小時，下午6小時；

那麼，我們可以将這些數據，表達成一個矩陣，

然後我可以對這些數據進行各種計算和處理，比如，我需要計算平均值，或最大值，等等。

也就是說，

矩陣它沒有必要是方程組的系數，其定義與方程組無關。

那麼，有人說，

為什麼人們又可以用矩陣的方式，去表示方程組呢？

這就是問題的要害。

事實上，所有的問題，根本在于，我們很多人在學習的過程當中，

把矩陣的曆史發展順序，與矩陣理論的邏輯順序，搞混了。

而且更要命的是，這兩個順序，正好是個反的。

什麼意思呢？

首先，曆史上，矩陣這個東西是怎麼發展出來的？

我們剛才已經講了，就是人們在研究方程組的時候，把它的系數，提取出來，解方程。用系數的陣列來解方程，最早在公元1世紀的《九章算術》中就有了。

然後，我們就來研究這堆矩形的數字的陣列，發現，其實可以單獨搞成一門學問，于是就給它起了個名字，叫“矩陣（matrix）”。

Matrix這個詞是1850年才出現的。

因此，矩陣的曆史發展順序是，

先有方程組，然後，為了解方程，而搞出了一個系數矩陣，然後推廣，成了一門學問。

而現代線性代數理論的邏輯順序是什麼呢？

是，

我們先脫離了方程組，來直接定義了什麼是矩陣。

什麼是矩陣呢，矩陣就是一堆數字的陣列：

這個A，就是一個矩陣。除此之外，再無其它的意思，和方程組沒半毛錢的關系。

那麼有人說，既然這樣，那麼這矩陣在理論上，怎麼又跟方程組扯上關系了呢？

那是因為，

我們後來又定義了矩陣的計算方法。

矩陣，

它可以做加法。

矩陣和矩陣，可以做乘法。

矩陣和數字，可以做乘法。

矩陣它還有逆運算，就是我們剛才說的那個P逆。

矩陣還有轉置運算。

矩陣它還可以平方，它可以進行幂運算。

等等。

但是注意，定義這麼多運算，也不需要引入方程組這玩意，而隻需要在矩陣的定義基礎上，再定義矩陣的運算法則。（關于矩陣的計算，專欄有詳細介紹）

然後，對于一個方程組，

我們可以利用該方程組的系數，創造出三個矩陣：

然後，利用矩陣的乘法法則，将該方程組表示為：

這樣，矩陣和方程組在教科書中就扯上關系了。

但是，我們一定要非常明白，在線性代數課本中，

矩陣的定義無需方程組的參與。

這就是為什麼，很多人無法理解線性代數的原因。因為很多人，包括我剛上課時，總是在想，這相似矩陣和方程組到底有啥關系呢？

實際上，相似是另一套理論體系中的東西，鋪墊相當多，不是一兩句話可以說清的。關于這個，我們在專欄的視頻中詳細介紹。

可見，我們不理解很多東西的原因，并不是我們的智商問題，而是一些稀爛的教科書，讓我們一開始就掉進坑裡，再也爬不出來，直至懷疑人生。

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