前些天做了皖南八校聯考題，感覺是真的有點難度的，

因為學生确實做得不太理想，幾天前就想寫幾個題了。卻是因為時間的原因，斷斷續續的，到今天才完成了下面這題。

這題很多孩子都要求講一講，可是，這題真的有難度麼？

說難，确實還是有點。但要說容易麼，也确實是不過分的。

因為，熟悉圓錐曲線二級結論的人都會知道，這就是考查圓錐曲線垂徑定理的了。

可惜的是，很多的娃并不清楚。

那麼，什麼是垂徑定理呢？今天就準備詳細地說一說它。

01相關知識點解析

1、圓周角定理

說到垂徑定理，最先想到的肯定是圓了吧？

就算不知垂徑定理是什麼東西，但同學也一定是熟悉它的。

其實，在垂徑定理之前，應該還有一個也是我們熟悉的，圓周角定理：

圓的直徑所對的圓周角是直角。

對于學數學的人來說，

這個應該算是婦孺皆知的結論了吧。

雖然是初中的内容，

但是在高中也是經常會用到的。

2、圓的垂徑定理

那麼垂徑定理，到底是什麼？

其實我們應該更加熟悉才對的。

垂直于弦的直徑

平分弦

且平分弦所對的兩條弧

是不是很熟悉？

是不是還經常用到它！

當然，

為嚴謹起見，

我還是要象征性地做個說明，

從兩個方面：

證明一：無字證明

證明二：理論證明

這個圓的垂徑定理，

在高中階段，

尤其是在《直線與圓》這一章節，

也是常用的一個結論了。

但其實，

從高中的角度來看，

無論是圓的圓周角定理，

還是這個垂徑定理，

其本質都是一樣的。

因為它們，

可以相互導出、互為因果。

3、橢圓的圓周角定理

都知道橢圓與圓的關系。

橢圓隻是一個圓被壓扁了一點而已。

那麼，

在圓被壓扁的過程中，

直徑所對的直角将如何變化，

垂徑定理又将何去何從呢？

看了這個動圖，

是不是感覺很驚訝？

随着圓的被壓扁，

PA與PB之間的垂直關系會發生變化，

這一定是情理之中的。

但它們斜率之積卻依然是定值，

僅僅隻是由原來的-1,

變成了另一個定值而已。

這個結果，

就非常的出乎意料，

但确實還是讓人欣喜。

也許，

這正說明了，

圓應該就是一個特殊的橢圓吧。

這也讓我想起了，

很久以前寫過的一篇推文：

鍊接：橢圓與圓：本同源，應相伴。

對于這個結果，

還可以概括成下面一般性的結論：

這個就算是橢圓的圓周角定理了，

根據圓與橢圓之間的關系，

圓的直徑在橢圓這裡，

便挖成了中心弦。

中心弦所對角的兩邊的斜率

乘積為定值

當然，

這麼好的結論，

應該還是要從理論上證明的，

最少，

是應該找出這個定值的吧。

顯然，

無論是從數量關系，

還是從動圖觀察，

結論都是沒有問題的。

有人也把這個結論，

稱為橢圓的第三定義：

已知A，B是平面内兩個定點，點P是平面内一動點，若PA與PB的斜率之積為定值（負值且不等于-1），則動點P的軌迹為橢圓。

4、橢圓的垂徑定理

有了圓周角的經驗，

同樣的，

類似于圓的垂徑定理，

橢圓的垂徑定理猜想可以描述成這樣：

先不說結論，

先說下上面的證明，

這不是用的點差法麼？

原來，

一直最喜歡的點差法，

最後的結局，

竟然就是垂徑定理！

那是不是預示着，

以後凡是想到點差法時，

是可以直接考慮用它的結果，

就是現在的垂徑定理了呢？

當然，

也是到了現在才确信，

原來初中的圓周角定理和垂徑定理，

到了高中依然關系親密，

而且更顯強大。

切線也是圓的一個重要特征，

其實我們還可以從切線性質出發，

得到橢圓的另一個很好的結論。

大家都知曉的，

圓的切線，

總是與圓心與切點連線互相垂直的，

從數量關系上說，

就是它們的斜率之積為-1。

動圖告訴我們，

橢圓也有着類似的性質，

隻是斜率之積變成了

其實，

如果你願意，

還可以更進一步，

這個最好的定值，

原來是可以寫成這樣的：

就問這樣的結論，

于你來說，

驚不驚喜意不意外！

如果還能深入點，

考慮焦點在y軸上的話，

同樣可以得到定值：

哦，

原來也隻是交換了下a,b而已！

定值變成倒數了。

5、雙曲線的圓周角定理

橢圓與圓，

最大的相似性在于形狀特征。

而雙曲線與橢圓，

最大的相似性肯定是方程的結構了。

因此，

還是用類比的手法，

根據雙曲線與橢圓方程的相似性，

可以類比得出圓周角定理。

原來，

不僅結論的形式很相似，

而且和橢圓中的定值相比，

也僅隻是少了一個符号而已。

确實，

這組結論真的是很奇妙的。

但記起來，

因為結論太相似了，

會不會有點混淆的感覺呢？

所以，

還是看看它離心率的表達吧。

竟然是和橢圓一樣一樣的！

這樣記起來，

相信就會方便很多。

6、雙曲線的垂徑定理

既然有相似的圓周角定理，

那一定就會有相似的垂徑定理了，

真的是好，

連證明過程都是一樣的。

那雙曲線的切線，

會不會也有橢圓相似的結論呢？

原來是真的，

雙曲線上任意一點處的切線斜率，

和切點與原點連線的斜率，

乘積依然是定值，

定值依然是：

如果表達成離心率的形式，

和橢圓的表述竟然也是一樣的，

都是：

同樣的，

如果焦點在y軸上，

定值也應該是它的倒數了：

這樣，

橢圓和雙曲線，

就達到了完美統一了。

真好！

02 典型例題展示

相信現在大家對圓錐曲線的圓周角定理和垂徑定理，應該會有一個更直觀的理解和感受吧。

至于要不要掌握這個定理？我想答案應該是肯定的。

因為，教材中不是有個關于第三定義的例題麼？（P41，例3）

既然這樣，那還等什麼呢，老實的再理解再記憶吧。

END

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