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一題多解的數學題及答案

生活更新时间:2025-01-28 00:59:13

一題多解的數學題及答案（1.01¹⁰⁰和2誰大誰小）1

分析

比較大小問題，常規思路是縮放法。

因為1.01可以寫成1 0.01，所以我們可以聯想到二項式定理。

又因為的指數為整數，我們又可以嘗試數學歸納法。

解法一（縮放法）

縮放法是比較大小的常用方法，關鍵是構建逐項相消的分式。

因為有

所以

即

解法二（二項式定理）

有形如二項式定理的形式，所以可以用二項式定理進行展開。

一題多解的數學題及答案（1.01¹⁰⁰和2誰大誰小）2

組合數知識複習：

組合數公式是指從 n 個不同元素中，任取 m(m≤n) 個元素并成一組，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個組合；從 n 個不同元素中取出 m(m≤n) 個元素的所有組合的個數，叫做 n 個不同元素中取出 m 個元素的組合數。用符号 C(n,m) 表示。

隻取前兩項有，

即

解法三（數學歸納法）

從上面二項式定理我們取前兩項可知(n>1為正整數)

所以我們可以嘗試用數學歸納法求解。

一題多解的數學題及答案（1.01¹⁰⁰和2誰大誰小）3

用數學歸納法求證：(n>1為正整數)。

當n=2時，成立。

設n=k時（k>1為正整數），有

當n=k 1時，

也成立

所以對任意n>1的正整數，都成立！

當n=100時有

即

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