一階線性微分方程式是微分方程中最簡單的也是基本的，雖然看上去比較枯燥，但其背後的數學原理值得我們去學習和借鑒，本篇就來學習和探讨下。希望對大家有所幫助。
設一階微分方程式
的右端函數f(x,y)關于y是一次線性的，設其中函數a(x)與b(y)在區間α<x<β上是連續的，此時，相應的微分方程可以寫成
像這類的微分方程稱之為一階線性微分方程，不是線性的微分方程稱之為非線性微分方程。
下面的一階微分方程式叫做一階線性微分方程式
下面的一階微分方程式叫做非線性微分方程式
本篇内容是求解一階線性微分方程式（1）
設b（x）=0，則線性微分方程式（1）變成
2）式稱之為齊次線性微分方程式，這個方程也是變量分離的方程，因此，采用變量法求出它的通解為（夥伴們可以試着去算下，很簡單的）
其中C是一個任意常數，為了誘導出一般線性微分方程（1）的解法，我們對齊次線性微分方程（2）的通解做一點分析，上式寫成
再對x求導數，即得
令如下式子
則得：
或得到：
由于μ（x）不等于0，所以得到
這個微分方程實際上就是齊次線性微分方程式（2），因此如果把上面的步驟逆推而上，那麼就得到線性微分方程式（7）的一種新的解法，即：根據（7），用函數μ（x）（線性微分方程7的積分因子）乘以（7）的兩端，即得方程（6），從而方程（5）成立，再取不定積分，就得到微分方程（7）的通積分（4），用這種積分因子乘方程的方法求解齊次線性微分方程式，其優點是可以用類似的程序求解一般的線性微分方程式（1）。
2）設b(x)不等于0，則稱線性微分方程式（1）為非齊次的，為了采用上述的積分因子法，我們把（1）寫成與它等價的形式
再用積分因子
乘以方程（8）的兩端，則得
亦的
兩邊取積分，則得到通積分
其中C是任意常數，因此，方程（8）的通解為
例子：求解如下微分方程式
其中K，ω，p都是正的常數。
這是一個非齊次的一階線性微分方程式，它的積分因子為
用它乘微分方程式的兩端，則得到
再取不定積分，得
從而求得微分方程式的通解為
再通過對右邊不定積分的計算，則得
其中C是任意常數。
希望大家感興趣和讨論
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