好吧我承認有點标題黨了。

本筆記不作具體公式推導、概念闡述及定理推導，這些都在任何一本教材說的非常到位和清楚了。如果你不懂微積分，又沒啥基礎的，你可以把這個系列的筆記當玄幻小說看。如果你學完了微積分，但總覺得有很多概念不踏實，你可以把這個系列的筆記當打通任督二脈的易筋經看。

無極生太極，太極生兩儀，之後四象五行八卦。道的思想，在微積分中是有體現的。這點，從我來講，可以認為是貫穿整個微積分的。陰陽之說，又可以理解為辯證統一，在微積分上，微和積兩個概念很好的體現了這點。

這是宇宙運行規律在各個文化，各個學科中的具象體現。在道家，是陰陽，在物理，是守恒，在信号與系統，是卷積。

這篇，就從辯證的角度，或者帶上點陰陽，看一元函數的微積分。

微積分可以分成三個部分，

• 一元函數微積分
• 多元函數微積分
• 級數

這三部分比較獨立。一元函數微積分，顯然講的是y=f(x)的範圍。多元函數複雜一點，z=f(x,y)或者u=f(x,y,z)，還有矢量函數。級數相對于前兩部分都比較獨立。前兩部分是讨論什麼是好函數（關于“好函數”，看之前的開篇）。級數讨論的是，萬一你碰到了壞函數，怎麼用好函數代替。

如果你的專業是電路之類的，看完一元函數微積分就夠了，電路大多數是u(t) i(t)，都是一元函數中的概念。再加上級數。沒必要上多元函數。多元函數由于多元，還引入了向量。看起來比一元要費力不少。

一般教材，在一元函數微積分部分，會安排四大章節

1. 基本概念：極限，連續
2. 微分學：導數，微分
3. 積分學：定積分，不定積分，牛頓萊布尼茲
4. 微分方程：一階常系數線性

四大章節循序漸進，按部就班，是非常符合邏輯的。隻要抓住“一個中心兩個基本點”。

以“好函數為中心”，以“微觀”和“宏觀”兩個基本點，考察中學學到的基本初等函數。

第一部分，基本概念，定義了什麼是好函數。好函數就是光滑的函數。所謂光滑，就是不折不斷。如下的兩個函數，一個斷，一個折，都不是光滑的好函數。

但數學是嚴謹的，要用數學的語言嚴格定義什麼是斷什麼是折。第一部分，通過連續，定義了什麼不斷。不折，這個概念，在第二部分中通過導數定義。

有了好函數，于是第二和第三部分，就是從微觀和宏觀兩個方面看這個好函數。

在微觀方面，有微分，在宏觀方面，有積分。微分和積分，是好函數這個矛盾體的兩個方面，就像陰陽。

如果微分中有一個定理，或者公式，在積分中，必然有對應體！切記

所以，學習微積分，背定理，背公式，不能分開了背。要前後對照，融會貫通，舉幾個例子。

微分中值定理。

如果可導，必有切線平行于端線AB。它對應的是積分中值定理

如果連續，必有均線使得長方形面積和曲邊形面積相等。乍一看，似乎沒有聯系，但是把這兩個公式放在一起，是不是長得一樣？一對孿生兄弟？

上面是用牛頓萊布尼茲公式稍微修飾了一下的微分中值定理，下面是積分中值定理。它們倆都是描述曲線的兩個端點，有沒有發現！隻要一條光滑曲線定了兩個端點，那麼必然有可以确定兩條線——切線和均線。細品！兩個中值定理描述的是一件事，隻不過從兩個方面描述而已。這反映出，微分和積分是對立統一的。

兩個端點定積分這個事情，從高維度的微積分統一公式看，又是另一種風景！以後再表。這兩個端點，有點像黑白無常倆，我有時候細品之下，還是有點慎得慌的。

微分，是從局部的角度。局部的角度，就是做差值，回想導數的定義！再聯想導數的幾何意義，是不是切線？導數---切線---局部---微分！

積分，是從整體的角度。所謂整體，就是累積，就是加法。所以積分的定義，本質上就是一個和式，具體來講，就是一個加權和的極限。

微積分，學的其實是加減法。有沒有？

噱微岔開一下，看看積分的數學意義。

幾何意義就不看了，每本教材都說到，曲邊梯形的面積。

在數學上，積分和式可以看成加權和。每個累加項delta x加了權重f(..)後的代數和。整個和式也可以看成矩陣乘法。所以，歸根結底，積分，可以看作是加法——加權和！

再岔開一下，你覺得，我們小學學的那個乘法，九九乘法表，是不是加權和呢？什麼是12*3？可不可以認為是3在十位的權重，加上3在個位的權重？細品！

再來看一個例子，不定積分求解方法中，有一個叫部分積分法，很是難搞對不對？跟導數公式放在一起對比一下，你自己看，有沒有看出什麼門道？

沒看出的繼續看，看出來的可以接着對比換元法和鍊式求導法則

用導數公式去理解和記憶不定積分的兩個方法，是不是事半功倍？

如果你悟通了這點，接下去自然而然的問題就是，還有沒有其他的不定積分的求解方法？hoho，沒有了。如果有的話，微分那邊必然有對應公式，可惜，那邊沒有了，這邊也肯定沒有了！

說了這麼多，形而下來講，第二部分和第三部分的學習，即微分學和積分學的學習，一定要前後對比着看，找出各個定理在兩個部分的對應條款，對應公式，甚至于推導過程都要一一找出對應點。這樣才能融會貫通！

形而上來講，一元函數微積分就是對立統一這個辯證思想的數學體現。對立，是微和分的對立，統一，是它們描述對象的統一，統一在那條曲線！

微積分就是看曲線的，至少到現在為止！考察的都是曲線！微分中的泰勒展開就是用二次項替換曲線的局部有沒有？導數和二階導數考察的就是曲線的極值和拐點有沒有？積分求的是不均勻直棒質量，啥是不均勻？曲線是不是？變力作功，啥是變力？可以圖像化成曲線是不是？

光滑曲線的局部和整體——微積分！細品！

一元函數微積分的中心點就是光滑

• 什麼是光滑？連續 可導
• 光滑了，局部有什麼特質？可微，有切線平行于端線。
• 光滑了，整體有什麼特性？有均線，可平均
• 合起來看？牛頓萊布尼茲公式

牛頓萊布尼茲公式是一元函數微積分的終點，是微分和積分這對矛盾的統一表示，是陰陽的合體！

從這個學科本身來講，到牛頓萊布尼茲公式就ok了。但考慮到跟後面專業課程的銜接，所以特别加了微分方程。微分方程和自然數e有着千絲萬縷的聯系，放到下一篇講了。

下一篇打算講講這個自然數e。先來點預告，抛點問題

1. pi好理解，圓周率，e是啥？一個數？咋來的？
2. 一般人為啥到處看得到pi，卻到處看不到e？為啥學了微積分能到處看到e？
3. 為啥學了專業課還逃不掉e？RCL電路有e對不對？阻尼彈簧減震有e對不對？放射性衰變有e對不對？傅裡葉變換還tmd有e有沒有？
4. 終極大招，還有那個網紅傳瘋了的歐拉公式，認得每個字母，但又看不懂，也有e是不是？

來一張歐拉的死亡凝視，喘口氣

還記得一開始我說的嗎？無極生太極，太極生兩儀，之後四象五行八卦。你看到這麼多e，可想，e必然是宇宙某個終極規律的體現，那個規律在背後運作，在各個領域的表現，通過e告訴你它的存在和行為方式！下一篇揭示那個背後的宇宙規律

ps，不要把歐拉想的這麼邪惡，他是真理的引路人

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