接着上周内容，今天我們分享另外七個數學模型，幫助我們理解，并指導解決生活中的問題。

首先分享2個和國家經濟增長相關的數學模型，一個是“柯布-道格拉斯模型”，另一個是“索羅模型”。現在我們假設大寫字母O代表經濟産量，A代表技術進步，s代表儲蓄率，d代表折舊率，L代表勞動力，K代表固定資産投資。那麼“柯布”模型就表示為O與L的平方根K、平方根乘積成正比（O=常數*根号下L*根号下K）。而“索羅”模型就表示為O與A的平方、L、S/d乘積相等（O=A的平方*L*s/d）。

柯布模型能夠非常準确的拟合一個國家或者經濟體發展前期的數據，特别是解釋改革開放前30年的發展曆程。改革開放初期，國家内部大量的資金和廉價勞動力，為國家的迅猛發展提供了龐大動力。但是随着勞動力的飽和和成本增加，由于L和K均有平方根的制約，産量O的增加急劇減小，因為勞動力和固定資産是有限的，不可能無限的增加，而且固定資産還有折舊，終有一天固定資産投資将等于固定資産折舊。這就導緻經濟發展進入了瓶頸，不能夠快速增長了。如果沒有其他因素刺激，經濟就會停滞。

柯布模型告訴我們，依靠勞動力和投資拉動經濟的做法不可持久，增長終會趨于停滞。

而索羅模型則從另一個方面拟合了經濟發展數據。憑借對這個模型的研究和發展，索羅本人和另兩位經濟學家（威廉-諾德豪斯、保羅-羅默）分别獲得1987年和2018年諾貝爾經濟學獎。該模型指出，一個工廠或者企業，不僅要讓勞動力就業，還要讓工人拿了工資去投資，這樣一來就突破了柯布模型平方根的限制，實現了經濟産量和勞動力的正比關系。但是即便如此勞動力和投資作用仍然有限，畢竟勞動力和投資不可能無限增長。令人驚喜的是模型中有A的平方存在，這表明隻要有一點點技術創新，就能夠帶來巨大的增長。這個模型，充分體現了産業升級、科技創新對國家可持續發展的巨大作用。這幫助我們理解，為什麼當下社會這麼鼓勵創新，這麼強調産業升級，因為沒有創新，不但國家無法維持較高速度的發展，就連想像前些年那樣樂觀都很難做到。

你之前可能也意識到了科技創新和産業升級的重要性，也可能認為發展經濟當然要靠投資和勞動力驅動，創新和升級不過是錦上添花，殊不知今天數學模型讓你切身感受到，創新和産業升級對國家經濟而言是“生死攸關”大事！

接下來我們繼續學“模型”，來看看3個關于傳播的模型，分别為：廣播、擴散和SIR模型。

廣播模型，随處可見，比如新聞的傳播，新産品的銷售情況。它是我們從公共渠道獲取信息的重要方式。他有一個特點，那就是新聞發布的第一天或者新産品發售的第一天，收到的人數最多，關注的人數也最多。這就決定了廣播式的傳播，前期增長速度很快，越往後越慢，直到最後所有人都獲取了信息。它的公式表示為第t 1個時期的傳播量I（t 1）等于第t個時期的傳播量It，加上傳播率Pb和第t個時期的未被傳播的人數St的乘積（等于相關人群總數N減去已經傳播的人數It）。【I（t 1）=It Pb*St；St=N-It】

擴散模型，也非常常見，比如“流感”的傳染，接觸到流感病毒的人，很容易被傳染。擴散的特點就是，前期人數不多，擴散的不明顯，但是随着被傳染的人越來越多，擴散的速度也就越來越快，一旦越過了拐點，會呈現指數級增長。這個模型的運用非常廣泛，比如市場營銷擴散，明星的粉絲擴散，文章的閱讀量的擴散等等，都符合擴散模型。它的公式表示為第t 1個時期的傳播量I（t 1）等于第t個時期的傳播量，加上擴散傳播概率Pd、已傳播量It/相關人群總數N、第t個時期未被擴散的人數St等三者的乘積。【I（t 1）=It Pd*（It/N）*St】

SIR模型中則有一個關鍵因素很少被人注意，這就是“恢複概率”Pr，它最初的來源是指“傳染病的痊愈”和“流行的退潮”。簡單來說，不論是傳播還是擴散，接收到信息的人，會在一段時間内把信息忘掉。就比如流感，你被傳染了就會成為“抗原”，當被治愈了就不再具有傳染性了。這也就解釋了為什麼當下明星想通過擴大粉絲數量，或者不斷砸錢擴大傳染度獲得成功的概率幾乎為零。因為大家都是很健忘的。考慮到了回複率，SIR模型的公式就表示為“擴散模型”減去恢複率Pr和已傳染人群It的乘積。【I(t 1)=It Pd*（It/N）*St-Pr*It】

考慮到SIR模型，流行病學研究就給出了一個“基礎繁殖數”R0，等于擴散概率Pd比上恢複概率Pr。【R0=Pd/Pr】。當R0大于1時，表明某個東西可以傳播擴散出去，當其小于1時，表明某個信息将最終不能被傳播出去，過一段時間就會自行消亡。而R0就是營銷、宣傳、擴大影響率的終極因子。比如著名美國流行歌手賈斯丁·比伯的歌曲R0=24，就足以确定了他個人的魅力和傳播能力，這個數值表明他的歌曲傳染速度比“荨麻疹”傳染的都快！

最後繼續分享最後的2個關于“改變”的模型，一個是“馬爾科夫過程”，一個是“路徑依賴”。

馬爾科夫過程，是說如果你想一次性的采取一個行動改變某件事，結果必将徒勞無功。不管你怎麼努力改變，最終都仿佛受到了“隐形之手”力量的束縛，回歸老樣子。馬爾科夫模型，讓我們從數學原理明白“江山易改本性難移”的深層邏輯。

馬爾科夫過程滿足四個條件：第一，系統中有有限的狀态；第二，狀态之間的切換概率是固定的比例；第三，系統具有遍曆性，即從任何一個狀态出發，都能找到一條路線切換到任意一個其他狀态；第四，過程之中沒有循環。

舉一個例子，非常有趣。比如現在一個教室為一個系統，系統内有兩類學生，一類是“認真”的，另一類是“溜号”的。系統中兩類學生的轉換概率固定，今天認真的學生，明天繼續認真的概率90%，10%的學生會溜号，而今天溜号的學生中，明天繼續溜号的概率是70%，剩下的30%概率會變成“認真”的學生。每天的轉換概率都不變。現假設共有100名學生，今天認真和溜号各占一半兒，那麼經過一天以後，認真的學生就會變成60，溜号的學生變成40，第三天66個認真的，34個溜号的，以此推演，最終系統就會趨于穩定，達成認真的學生75人，溜号的學生25人，并不再随着時間發生變化。因為此時下一天将有7.5個人從認真變成溜号，也有7.5個人從溜号變成認真。這個過程就叫做“馬爾科夫過程”。

這個模型告訴我們，一個酗酒、吸煙上瘾者，你可以看着他一周甚至一個月戒煙戒酒，但是這并不會影響他繼續酗酒、抽煙的概率；還告訴我們逢年過節去慰問敬老院裡的老人，為他們表演節目，搞形式多樣的慰問，并不會影響老人們的長期精神狀态。想要有所改變，就要改變系統，讓另一個馬爾科夫過程取代現有的過程。馬爾科夫模型解釋了為什麼曆史總存在怪圈，因為它本身就是一個馬爾科夫過程，臨時性的措施往往不能解決根本問題，想要改變曆史，就要改變系統本身。

而“路徑依賴”模型說的是，過去發生的時間，會在一定程度上改變事件未來發生的概率。比如以數學家波利亞·哲爾吉命名的“波利亞罐”，一開始裡邊隻有一個白球和一個黑球，如果你去随機摸球，摸到了白球，那麼接下來就放入罐中兩個白球，此時罐子裡有兩個白球和一個黑球；然後再次随機摸球，如果你再次摸到了白球，那麼接下來再放入兩個白球，此時就會有三個白球和一個黑球。剛開始黑白被摸到的概率各自都是50%，可是等到第二次摸白球時，白球被摸到的概率就變成了75%，黑球的概率變成了25%。你摸到了什麼球，将直接影響你下次還摸到它的概率，這就是“路徑依賴”。

現實生活中，比如QWERTY鍵盤，就是經典的例子，雖然有人認為這種鍵盤非常不符合人手的結構，也有人專門設計了新的鍵盤。但是鍵盤發明之初就是這個樣子，當初人們之所以選用這樣的鍵盤，就是為了降低打字的速度，防止老式打字機的鍵杆相互碰撞。然而今天沒有鍵杆了，卻沒有人願意改變打字的習慣，再重新學習一種打字的技能了。當初鍵盤出現時的小因素，決定了當下鍵盤發展的路徑，後人不得不沿着前者的路徑繼續走下去。再比如微軟的操作系統，1979年黨IBM公司研發出第一台個人電腦時，沒有操作系統，微軟從别人那裡買來的DOS拿下了為個人電腦做操作程序的訂單，緊接着比爾蓋茨又連續在“波利亞罐”中摸到了白球，由于DOS操作系統的兼容性好，他能夠開發各種應用程序和遊戲，還開發了自己的Office辦公軟件和遊戲平台。這些應用再次連續摸到白球，創造出了一整套電腦市場，到如今個人電腦仍然要依賴于微軟的“路徑”。

好了，今天的7個模型分享就到這裡了，希望你看的過瘾，有所收獲，同時祝願您中秋節快樂！這是與您分享的第474篇文章，歡迎您的閱讀，我們下周再見。

注釋：本文專業資料來自得到APP萬維鋼精英日課。

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