線性代數逆矩陣筆記-tft每日頭條

線性代數逆矩陣筆記

生活更新时间:2025-04-30 22:22:01

今天，筆者給大家講講逆矩陣的意義，這個話題篇幅較長，需要分成好幾次來聊，話不多說，讓我們開門見山。

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）1

什麼是逆矩陣呢？它的精髓包含在一個公式裡，今天我主要帶大家理解下面這個公式。大家先瞅瞅它，（看不懂完全沒關系。先簡單留個印象就行了)。等你看懂了它，你就明白了逆矩陣的意義。

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）2

式中A是矩陣，A的負1次方表示逆矩陣

好了，讓我們開始今天的線代之旅，有請我們的明星矩陣：

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）3

我們上次的文章中給大家講了矩陣乘法的意義。（強烈建議大家先看筆者的前一篇文章，介紹矩陣相乘的本質）這種二維矩陣在空間中可看成是一個以i’（1，3），j’（2，4）為基底的傾斜坐标系：

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）4

大家仔細觀察這個圖

這個斜坐标的基底不是i和j，它是兩個維度複合而成的：

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）5

和直角坐标系對應的矩陣是什麼呢：

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）6

于是，逆矩陣說話了：我逆矩陣可以把這個斜的坐标系變回我們常見的直坐标系：

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）7

看到這裡，你大概就明白了，逆矩陣為什麼叫逆矩陣呢？因為大部分矩陣可以把直角坐标系變成各種斜的坐标系，而逆矩陣卻可以把斜的坐标系變回直角坐标系。

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）8

矩陣和該矩陣的逆矩陣複合在一起同時操作我們直角坐标系，最終等于沒有作用（兩個作用相互抵消了）:

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）9

這個大寫I的意思是單位矩陣，這個單位矩陣其實就表示我們的直角坐标系那兩個基向量i，j。

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）10

現在問題來了：

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）11

如何求這四個問号呢？我們直接設a,b,c,d四個未知數不就完了嘛:

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）12

挨個對應解得：

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）13

這個逆矩陣A^-1張什麼樣子呢:

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）14

類比空間，你是不是很快就想到了：逆矩陣作用就是把斜的三維xyz坐标系變回我們常見的直角三維坐标系。

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）15

不過，求三階矩陣的逆矩陣用方程去解就非常複雜了，不信你可以試試看。應于這個問題，我将給大家介紹更多好玩的數學工具，這個安排到下一篇講。

最後給大家留個問題：你能求下面這個矩陣的逆矩陣嗎？

線性代數逆矩陣筆記（線性代數的秘密）16

（未完待續）

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