有人說高考很少出現雙曲線問題，是因為雙曲線問題太難了。真的是這樣的嗎？2022年高考數學全國理科乙卷就有這麼一道選擇題，不僅是關于雙曲線的問題，而且同時涉及圓的問題，可以說是雙曲線問題和圓的問題的結合，那又會是一種什麼樣的體驗呢？

雙曲線C的兩個焦點F1, F2, 以C的實軸為直徑的圓記為D, 過F1作D的切線與C交于M, N兩點, 且cos∠F1NF2=3/5, 則C的離心率為

A. 根号5/2 B. 3/2 C. 根号13/2 D. 根号17/2

這道題如果不把圖像的草圖畫出來，想要直接解決，恐怕非常困難，而畫圖像，也是這道題的難點之一。因為你很難直接畫出比較準确的圖像。不過圖像隻是一個參考，不準确其實對解題的影響也不大。

題目自然不隻一種解法，老黃用的是老黃自己的解法。下面可能會出現打字出錯的情況，身為高中生，應該有一定的判斷能力，千萬不要照抄，歡迎指正，但也千萬不要隻會挑錯别字的毛病哦，那些都是跑遍的了。

分析：先列出角F1NF2的餘弦公式。如下：

cos∠F1NF2=(F1N^2 F2N^2-F1F2^2)/(2F1N*F2N).

其中F1F2=2c，F1N-F2N=2a，通過配方，可以得到

cos∠F1NF2=(2F1N*F2N 4a^2-4c^2)/(2F1N*F2N)=3/5.

從而解得：F1N·F2N=5(c^2-a^2)=5b^2. 下面運用三角形關于正弦的面積公式，可以求得：

S△F1NF2=F1N·F2N·sin∠F1NF2/2=2b^2, (sin∠F1NF2=4/5)

又F1N-F2N=2a, 結合F1N·F2N=5b^2. 解決這個二元二次方程，可以得到：

F1N=根号(a^2 5b^2) a=根号(5c^2-4a^2) a, 再運用一次三角形關于正弦的面積公式，可以得到：

S△F1NF2=F1N·F1F2·sin∠NF1F2/2=2b^2. 其中sin∠NF1F2=a/c，這裡的a是圓的半徑。其實就是圓心D和切點之間的線段，c是DF1.

代入各線段和sin∠NF1F2的值，可以列得關系式：a根号(5c^2-4a^2) a^2=2(c^2-a^2).

兩邊同時除以a^2，就可以得到一個關于離心率e的方程：根号(5e^2-4) 1=2(e^2-1),

解決方程，就得到離心率e=根号13/2. 所以選C. 這裡可以不用解方程，直接把四個選項代入方程檢驗根也可以。

老黃這個方法可以不用畫輔助線。老黃在網上看到其他網友的方法，大多需要畫至少兩條輔助線。那麼您有沒有更好的方法呢？

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