#頭條創作挑戰賽#
函數在閉區間上一緻連續的條件很好總結，也很好記，那就是閉區間上的連續函數一緻連續。即在閉區間上，連續是一緻連續的充要條件。那麼函數在開區間上一緻連續又有什麼條件呢？是不是也是充要條件呢？
事實上，如果函數在開區間上任一收斂的自變量數列，對應的函數列的極限都存在，那麼函數在開區間上就一緻連續。這是函數在開區間上一緻連續的一個充分條件，至于是否必要條件，不在這篇文章讨論的範圍。
證明：設函數f定義在有限區間(a,b)上，若對于(a,b)内任一收斂數列{xn}，lim(n→∞)f(xn)都存在，則f(x)在(a,b)上一緻連續.
證：若f在(a,b)上不一緻連續，則存在ε0>0，對任給的δ>0,【這是反證法。隻要有一個ε0使一緻連續的定義不成立，就可以了。接下來證明不存在這樣的ε0】
總有x’,x”∈(a,b)，使得|x’-x”|<δ，但|f(x’)-f(x”)|≥ε0.【與一緻連續的定義相反】
取δn=1/n (n=1,2,…)，則相應有{xn’}與{xn”}⊂(a,b)，【取分數單位數列{1/n}的所有項為δn，由于一個δ對應兩個點，那些對應x'的點記為數列{xn'}，對應x"的點記為數列{xn"}，這兩個數列都包含于開區間】
使|f(xn’)-f(xn”)|≥ε0.【且兩個數列中對應項的函數距離都不小于ε0】
取收斂子列{x’_(nk)}⊂{xn’}，{x”_(nk)}⊂{xn”}，【由于這兩個數列都是有界無限的,所以他們各至少有一個收斂子列】∵0≤|x’_(nk)-x”_(nk)|<1/nk →0(k→∞)，【而兩個收斂子列的對應項距離肯定不小于0，但它又小于對應的δ_(nk)=1/nk】
∴lim(k→∞) x’_(nk)=lim(k→∞) x”_(nk),【當k趨于無窮時，δ_(nk)趨于0，由迫斂性知，兩個收斂子列的極限相等】
即lim(k→∞)[f(x’_(nk))-f(x”_(nk))]=0,【而兩個收斂子列對應項的函數子列對應項距離的極限也等于0】
∴當k充分大時，|f(x’_(nk))-f(x”_(nk)) |<ε0，矛盾.【顯然，與上面假設的|f(x’)-f(x”)|≥ε0矛盾】
∴f在(a,b)上一緻連續.
需要特别指出的是，“當自變量的極限存在時，可交換函數和極限符号的順序，因此函數的極限也存在”，是這道題的重要依據。有興趣的小夥伴們可以探究一下，這個條件是不是必要條件。
,更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!
zpostcode 
Recruit 
weather 
mreligion 
Yellowpages 
sport 
constellation 
shopping 
name 
game 
directory 
literature 
Word 
tour 
furnish 
Lottery 
tftnews 
lyrics 
News 
digital 
car 
dir 
Edu 
Finance 
