一、基本公式

對于一個時間函數的正弦波：

即函數是u＝F(t)，注意u≠sin(t)，F≠sin。

但是它是一個正弦波，故u＝sin(￡)，￡與t存在關系

即：u＝F(t)＝sin(￡)，￡與t存在關系，￡的單位是角度，t的單位是秒。sin隻能對“角度”，不能對“秒”。“秒”要轉換成“角度”才能sin。

現在來求解￡是什麼，發現：

O點，t＝0時，￡＝0

A點，t＝T時，￡＝2π

B點，t＝2T時，￡＝2×2π

即￡與t的關系是 ￡＝（2π/T）×t

故得：u＝F(t)＝sin(￡)＝sin(（2π/T）t) ！！！！

另，

角速度＝2π/t

角頻率ω＝2π/T＝2πf，T為周期，f為頻率

故最終：u＝sinωt ！！！！

即t乘以ω後，就變成角度了，ωt是角度，就可以sin了！

二、對于各種提前、延後的情況：

即sin函數裡面的都是角度！

時間需要乘以ω轉成角度。

角度要轉成時間，就要除以ω。

π／2＝ω×T／4，即T／4相當于是π／2。

三、平均值

時間和角度是相當的，角度可以代替時間去計算，這就方便多了。

1. 正弦波平均值肯定為0。

把角度當作時間來簡化計算。

把2π當作周期T，把小片段角度d￡當作小片段時間dt。

在一個周期T内的平均值，即是∫u×dt／T，即相當于∫u×d￡／2π

用角度時：u=sin￡

則∫u×d￡／2π＝∫sin￡×d￡／2π

在0～2π區間作積分：

故∫sin￡d￡／2π＝(－cos2π＋cos0)/2π＝0

2. 全波整流的平均值：

隻要計算0～π即可：

∫sin￡d￡／π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／π＝0.6366

即平均值＝峰值的0.6366倍。

3. 半波整流的平均值

計算0～π,但周期要按2π算：

∫sin￡d￡／2π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／2π＝0.3183

即平均值＝峰值的0.3183倍。

四、有效值

時間和角度是相當的，角度可以代替時間去計算，這就方便多了。

1. 正弦波有效值

把角度當作時間來簡化計算。

把2π當作周期T，把小片段角度d￡當作小片段時間dt。

在一個周期T内的有效值，即是計算一個周期T内的熱量值相同的等效電壓：

一個周期T内的熱量值（假設電阻R＝1）：∫u^2×dt，即相當于∫u^2×d￡

用角度時：u=sin￡

則∫u^2×d￡＝∫sin2￡×d￡

在0～2π區間作積分：

故∫sin2￡d￡＝（2π／2－1／4×sin4π）-（0／2－1／4×sin0）＝π

等效電壓Uo産生的熱量值＝Uo^2×2π等于∫sin2￡d￡＝π

故：Uo^2×2π＝π

最終得：Uo＝0.707

即有效值等于峰值的0.707倍

2. 全波整流的有效值：

隻要計算0～π即可：

故∫sin2￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2

故：Uo^2×π＝π／2

最終得：Uo＝0.707

即有效值等于峰值的0.707倍

3. 半波整流的有效值

隻要計算0～π，但周期要按2π算：

故∫sin2￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2

故：Uo^2×2π＝π／2

最終得：Uo＝0.5

即有效值等于峰值的0.5倍

五、彙總

平均值

有效值

正弦波

0

峰值的0.707倍

全波

峰值的0.6366倍 正弦波有效值的0.9倍

峰值的0.707倍

半波

峰值的0.3183倍

正弦波有效值的0.45倍

峰值的0.5倍

總之，sin函數裡面一定是角度。時間需要乘以ω轉成角度。角度可以等效成時間來計算。

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