本文既可作為老少皆宜的休閑文章來看，也可作為本科生速成期末考試的靈丹妙藥（笑）
龐加萊
我們接着講微分方程，今天的主要内容是換元法，換元法就是用一種變量替換掉原來的變量，從而達到化簡問題的目的。
上一講我們講了微分方程得基礎知識，想必大家已經清楚了求解，通解，特解之間的關系。今天我們來看這樣一個問題：
我們要做的事情還是把這個等式化成函數：
不過這次我并不想讓大家直接去算，我們以dy/dx(y')為高度軸，x和y（f（x））分别為變量建立一個三維坐标系，我想讓大家體會一下微分方程為什麼被稱為微分方程：
z軸的物理意義是導數，x，f（x）軸各自獨立變化
這個圖反映的是導數y’和x，f（x）之間的變化關系，然而y和x之間依然存在其它的内在聯系。它隻能解析一部分信息，甚至裡面的很多信息并不存在。
理解了這一點，大家就明白了求解微分方程的必要性，那就是讓事情直觀起來。
我們知道：
原式化簡為：
合并同類項，可得：
我們說
c為任意常數
就是原方程的通解，它是一簇曲線。
C随便取一個具體的數，叫原方程的特解。
這是一個什麼樣的曲線簇呢？（我隻畫一個特解給大家看看樣子）
可以說，我們把複雜的多變量函數簡化成了簡單的單變量函數：
理解了上面那個問題，我們再來看一個微分方程：
你不覺得這個微分方程很有趣嗎？
我們依然以dy/dx(y')為高度軸，x和y（f（x））分别為變量建立一個三維坐标系：
z軸的物理意義是導數，x，f（x）軸各自獨立變化
這個圖反映的還是導數y’和x，f（x）之間的變化關系，然而y和x之間依然存在其它的内在聯系。它隻能解析一部分信息，甚至裡面的很多信息并不存在。
好了，現在我們來計算它的解析解：
原式可以變形為這樣，
大家看看，前人是多麼有智慧啊，我們雖然學的來知識，卻學不來智慧：
整理可以得到：
對上面這個公式兩邊同時積分：
把u換成x y，可得：
算到這裡，我們似乎難以繼續往下算了，它是隐函數，就是說y包含在了x和y的同時變化裡，想把這個等式化成y=f（x）是非常困難的。
我們就用軟件看看這個函數長什麼樣子吧:
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