這是在今日頭條上看到的幾何難題。
如圖，在△ABC中，點P在邊BC上，∠PAC=60º，PC=1，AP AC=2，若△APB的面積是√3/2，求AB的長。
幾何難題
首先判斷一下A點是不是動點。如果隻有∠PAC=60°這一個條件，顯然A是△APC外接圓上的動點。現在加了一個條件AP AC=2，A點同時符合這兩個條件還能動嗎？怎樣判斷？
作輔助線，标上數據
為了解題方便，作AD⊥BC，PE⊥AC。設AP=a，AC=b，AD=c，BP=d。
對△PCE用勾股定理：PC²=PE² CE²，即
1²=a²sin²60° (b-acos60°)²，
1=3a²/4 b² a²/4-ab，
a² b²-ab-1=0。
∵a b=2，∴b=2-a，代入上式：
a² (2-a)²-a(2-a)-1=0，
a²-2a 1=0，a=1，b=1。
也就是說，如果同時滿足兩個條件∠PAC=60º和AP AC=2，則△APC是等邊三角形。
以上證明過程再次用到了餘弦定理的一種證明方法，這是初中學生可以理解的方法。高中學生直接用餘弦定理可以很快得到a=b。
顯然c=AD=√3/2。
S△APB=cd/2=√3/2，d=2。
△ABD是直角三角形，
AB²=AD² BD²
=(5/2)² (√3/2)²=7。∴AB=√7。
這裡是輕松簡單學數學，從最基本的數學概念入手解題，打牢你的數學基礎。
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