函數是數學的核心概念之一，圍繞函數發展起來了許多重要的數學理論，而調和函數就是這樣一類常見而重要的函數，它出現在數學的方方面面，在物理中也有重要應用，可以說，調和函數既是重要的研究對象，更是強大的數學工具。今天我們就簡單地介紹一下調和函數，以此窺探數學的奧妙。

我們很難追溯調和函數的具體起源，但起碼在19世紀，調和函數已經是重要且被廣泛應用的數學概念。那麼何謂調和函數呢？首先我們要定義拉普拉斯算子：

拉普拉斯算子的作用就是對不同的自變量求二階偏導數，然後相加得到一個關于偏導數的函數，而調和函數就是那些經過拉普拉斯算子作用後等于零的函數，也就是滿足下列條件的函數：

值得注意的是，定義調和函數前，我們要求這個函數起碼是在R^n中某區域(也可以是實數空間R^n本身)上存在二階偏導數的，而且往往也要要求n大于等于2。

那麼我們為什麼要研究調和函數？簡而言之是因為它的性質實在是太好了，可以拿來做很多事。

調和函數的第一個驚人性質是它的解析性，也就是說，調和函數在定義域内每一點是可以進行無窮次泰勒展開的，這就意味着調和函數是光滑的，或者說無窮次可導的。為什麼說這個性質好呢？注意到，定義調和函數時我們僅僅要求它存在二階偏導數，但實際上這樣的定義隻用極少的要求就保證了函數的光滑性，可謂化腐朽為神奇。

但解析性并非調和函數的本質特征，實際上，調和函數的最本質的性質是滿足所謂的平均值原理。而且為了獲得調和函數更好的性質，一般我們會在有界區域中考慮這些問題，還會要求函數具有連續或可導的邊值。那麼，什麼是平均值原理呢？簡單來說，就是函數u在一點x的值等于函數在以x為中心的球區域中體積積分或面積積分的平均值(通過簡單的積分計算可以證明，這兩種積分平均值是等價的)：

為什麼說平均值原理是調和函數最本質的特征呢，這是因為調和函數幾乎所有的重要性質都可以從平均值原理推導出來，例如上面說過的解析性。而且更重要的是，平均值性質完全刻畫了調和函數，這就是如下的結論：

調和函數的另一個重要性質是極值原理：

調和函數如果不是常數，那麼它不能在内部取到極大值或極小值。

由極值原理，我們立即可以獲知，調和函數由其邊值唯完全決定：

如果我們從更高的角度來看調和函數，也就是将定義△u=0看成是一個偏微分方程(準确來說是一個拉普拉斯方程)，那麼調和函數就是這個方程的解，而極值原理就告訴我們，在給定邊值的情況下，解是唯一的。實際上，如果區域足夠特殊(一般來說是球)的話，我們是可以通過邊值條件直接得到這個解的，而這又要涉及到泊松積分，泊松積分又要聯系着格林函數。

格林函數起源于物理中的場論，具體定義我們就不多說了，但它的作用就是拿來表示這種帶有邊值的方程的解。實際上，利用格林函數和拉普拉斯方程的基本解，我們得到調和函數的格林表示：

由于被積函數是光滑的，從格林表示我們再次獲得了調和函數的光滑性。當區域是一個球時，由于區域特殊，我們可以利用幾何中反演的方法得到相應格林函數的表達式，因而直接通過邊值求解調和函數成為可能，這也就有了帶有邊值的調和函數的泊松積分表達式：

除此之外，調和函數還有一個非常好的性質，這就是調和函數序列良好的收斂性質。在學習數學分析的時候，級數和函數序列的收斂性是我們非常關注的概念，因為良好的收斂性可以保證極限函數也具有一些好的性質。而從之前我們所說過的平均值原理可以發現，調和函數序列恰恰擁有某些良好的收斂性：

一緻收斂的調和函數序列的極限函數也是調和的。

進一步還可以證明：

從上面我們所講述的東西我們可以看見，調和函數的确擁有衆多其他函數所不具備的良好性質，因而調和函數成為了許多數學學科中常用的工具，例如我們說過的偏微分方程理論，數學物理方法等。不僅如此，“調和”這個概念也早已不再局限于實數空間上的函數，它可以輕松被推廣到微分流形上，用來定義和研究流形上的調和函數。不僅如此，“調和”還可以用到更一般的微分形式上，由此與著名的“霍奇理論”産生了深刻地關聯。當然，調和函數及其推廣的應用完全不止說過的這些，但可以肯定是，它的确在數學中扮演着十分重要的角色。

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