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最小二乘法公式推導過程

圖文更新时间:2025-01-09 04:07:14

假設現在有n對坐标系中的點

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）1

現在要做k階多項式拟合，多項式函數如下

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）2

将已知的觀測點數據代入上述公式得到如下n組等式：

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）3

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）4

......

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）5

最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，并使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小，如下所示：

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）6

代入公式可以得到

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）7

可以通過上述公式對

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）8

求偏導後，令其為0來求解所有a的值，得到下面的式子

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）9

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最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）11

......

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）12

将上述方程整理歸納得

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最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）15

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最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）16

将上述方程用矩陣表述

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）17

将上述方程分解，令

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）18

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）19

那麼上面的矩陣計算可以簡化為

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）20

，所以得到

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）21

網上的一些證明到這裡基本就結束了，但我覺得根據逆矩陣的特性還可以優化的，在矩陣中AB的逆等于B的逆乘A的逆，如下

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）22

化簡可以得到a為X的逆乘Y

最小二乘法公式推導過程（最小二乘法公式推導過程）23

計算出X的逆矩陣乘Y得到的就是多項式的系數，就能得到一個多項式了，曲線拟合就算完成了。

但是有沒有發現，X的逆矩陣計算量很大，還要明白如何求解逆矩陣的，用程序去實現也有一定難度。

後面會介紹一種法則，求解多項式的系數，套公式即可。以及用C語言實現最小二乘法的2次曲線拟合算法。

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