作者 | 程其襄

來源 | 《數學教學》, 1955年第一期, P16-18，原标題《三角函數表上的數哪些是無理數》，本文在轉載時有适當修改。

（注：如遇公式顯示不完整，左右滑動查看。）

現行中學數學課程的劃分容易産生一種偏向，即在一門課程裡所接觸到的問題在另一門課程裡往往完全被忽視掉, 因而影響了數學知識的整體性。如像在代數裡，我們要談到有理數無理數的問題，然而在三角函數裡，盡管經常和大量的三角函數值打交道，它們的算術性質——是有理數呢？還是無理數？就很少有人問過。這樣就難怪一般教師對無理數的知識顯得很貧乏，除了 等類型的無理數及 之外，就隻知道一些“人工造的”無理數，如像 1.010010001…了。

在這裡我們提出“有理角的三角函數值哪些是無理數？”的問題，并且企圖用初等的工具來解決它。

首先，我們解釋一下什麼叫“有理角”，那就是凡形如 的角，這裡 及 為整數，且 。由此可知普通三角函數表上以若幹度若幹分若幹秒表示的角全屬有理角。關于有理角的三角函數值的算術性質我們可得出下面的一個結論：

有理角的正弦餘弦，除了 及 外全都是無理數；有理角的正切，除了 外全都是無理數。

現證明如下：

由de Moivre 公式

比較等式左右兩邊後, 我們得到

這裡的 為正整數。如果 為偶數，則上式的最後一項為 ；如果 為奇數，則上式的最後一項為 。

設 為一個有理角，則 。從而 滿足整系數方程

将式(1)依 的降幂整理，并注意到

那麼當 為奇數時，得到

當 為偶數時，得到

在這裡, 我們要引用一個著名的代數定理：

一個整系數的代數方程

如果有有理根 (其中)，則 。

應用這個定理于(2)和(3)，便知當 為奇數及“形”的偶數時，

但這關系隻有當

其次，當 為“形”的偶數時，因為 的分母為奇數，利用上面已得的結果，便知必有

這就是說：當 為“形”的偶數時， 隻能有0這一個有理值。

由于 ，從而也就知道了這幾個數也是有理角的正弦值所僅有的有理值。

最後，設 為有理角，而 ，這裡 ，那麼立刻得到

這就是說 将同時為有理數，但根據上面的結果，一個有理角的正弦及餘弦同時為有理數的情況隻能限于二者之一為0，而另一個為 的時候。這就是說 0 和 為有理角正切僅有的有理值了。

因此有理角的三角函數就隻有

是有理數, 其餘的全是無理數。

末了還值得提一下，由于(1)可知所有有理角之餘弦(從而正弦及正切)都是代數數。依照伽羅瓦(Galois)理論，還可知道這種類型的代數數都可由整數出發通過有限回數的四則及開方運算而明顯的表示出來。至于可用有限回四則及開平方運算表示出來的卻隻限于一較狹範圍的有理角，關于此有高斯(Gauss)著名的結果，可參考奧克涅夫：代數學，在此不多贅述了。

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