圓是數學中優美的圖形，具有豐富的性質。由于其圖形的對稱性和完美性，很多與圓有關的問題都可以運用圓的圖形性質，利用數形結合求解。

而圓中的最值問題綜合性較強，有一定難度，在中考為熱點難點題型，經常出現，下我們就來總結一下這類問題的一般解法。

​策略一：利用直徑是圓中最大的弦

1.（2020秋•東台市期中）如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB＝30°，點E、F分别是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點，若⊙O的半徑為8，則GE FH的最大值為（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20

【解答】：連接OA、OB，如圖所示：

∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，

∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，

∵⊙O的半徑為8，∴AB＝OA＝OB＝8，

∵點E，F分别是AC、BC的中點，∴EF＝1/2AB＝4，

要求GE FH的最大值，即求GE FH EF（弦GH）的最大值，

∵當弦GH是圓的直徑時，它的最大值為：8×2＝16，

∴GE FH的最大值為：16﹣4＝12．

故選：B．

​策略二：過圓内一點的弦中，與過該點的直徑垂直的弦最短.

2.（2020秋•沭陽縣期中）如圖，在平面直角坐标系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y＝kx﹣3k 4（k≠0）與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為_______．

【解析】：連接OB，

∵直線y＝kx﹣3k 4必過點D（3，4），

∴最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦，

∵點D的坐标是（3，4），

∴OD＝​​＝5，

∵以原點O為圓心的圓過點A（13，0），

∴圓的半徑為13，∴OB＝13，

∴BD＝​​＝12，

∴BC＝2BD＝24，

∴BC的長的最小值為24；

故答案為：24．

策略三：弓形上的點到弦的距離中，最大距離是該弧的中點到弦的距離（或者過圈心的一條垂線段）.

3.（2011•南昌中考題）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為2√3，點A為弦BC所對優弧上任意一點（B，C兩點除外）．

（1）求∠BAC的度數；

（2）求△ABC面積的最大值．

（參考數據：sin60°＝√3/2，tan30°＝√3/3．）

【解析】（1）連接OB、OC，作OE⊥BC于點E，由垂徑定理可得出BE＝EC＝√3，在Rt△OBE中利用銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值可求出∠BOE的度數，再由圓周角定理即可求解∠BAC＝60°;

（2）因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處．

策略四：如圖，若點P不在OO上，射線OP交圓O于M，射線OP的反向延長線交OO于N，則點P到圓上各點中，PM的長最小，PN的長最大。

4.如圖，⊙O的直徑為4，C為⊙O上一個定點，∠ABC＝30°，動點P從A點出發沿半圓弧AB向B點運動（點P與點C在直徑AB的異側），當P點到達B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點．

（1）在點P的運動過程中，線段CD長度的取值範圍為_____-．

（2）在點P的運動過程中，線段AD長度的最大值為______．

【解析】：（1）如圖1中，

∵AB是直徑，∠ABC＝30°，AB＝4

∴∠ACB＝90°，∠A＝∠P＝60°，AC＝2，

∵CD⊥PC，

∴∠PCD＝90°，CD＝PC•tan60°，

∵PC的最小值＝AC＝2，PC的最大值為直徑＝4，

（2）如圖2中，

∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，

∴∠PDC＝30°，

∴點D在以BC為弦的⊙O′（紅弧線）上運動，

∴當A、O′、D共線時，AD的值最大．連接CO′、BO′．

∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，

∴△O′BC是等邊三角形，

策略五：如下圖，直線L與圓O相離，線段OP⊥L，垂足為P，交O0于點M，PO的延長線交圓O于點N，則圓O上各點到直線L的距離中，最小距離是PM的長，最大距離是PN的長.

5.在平面直角坐标系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D（其中點C、O、D按逆時針方向排列），連接AB．

（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數為_______；

（2）連接AC，BC，當點C在⊙O上運動到什麼位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值.

【解析】（1）根據點A和點B坐标易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA＝45°，由于OC∥AB，所以當C點在y軸左側時，有∠BOC＝∠OBA＝45°；當C點在y軸右側時，有∠BOC＝180°﹣∠OBA＝135°；

（2）∵△OAB為等腰直角三角形，

∴AB＝√2OA＝6√2，

∴當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，

過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，如圖，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，

策略六：直線L與半徑為r的圓相離，圓心O到直線L的距離為d，點P為直線L上任意一點，PA與圓O相切于點A，則PA的最小值是​，此時∠OPA最大.

6.​如圖，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3√2，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為______．

【解析】：連接OP、OQ．

∵PQ是⊙O的切線，

∴OQ⊥PQ；

7.（2020秋•宜興市期末）如圖，在矩形ABCD中，CD是⊙O直徑，E是BC的中點，P是直線AE上任意一點，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于點M、N，當∠MPN最大時，PM的長為______．

【分析】先判斷出OP⊥AE時，∠MPN最大，判斷出△ABE≌△GCE，求出CG＝4，再用勾股定理求出AE＝5，再判斷出△ABE∽△GPO，求出OP，最後用勾股定理求解，即可得出結論．

【解答】：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝4，

連接OP，OM，

∵PM，PN是⊙O的切線，

∴∠OPM＝1/2∠MPN，

要∠MPN最大，則∠OPM最大，

∵PM是⊙O的切線，

∴∠OMP＝90°，

在Rt△PMO中，OM＝OD＝1/2CD＝2，

∴sin∠OPM＝OM/OP=2/OP，

∴要∠OPM最大，則OP最短，

即OP⊥AE，

如圖2，延長DC交直線AE于G，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°＝∠ECG，AB∥CD，

∴∠BAE＝∠G，

∵點E是BC的中點，

∴BE＝1/2BC＝3，

∴△ABE≌△GCE（AAS），

∴CG＝AB＝4，

∵CD是⊙O的直徑，

∴OC＝1/2CD＝2，

∴OG＝OC CE＝6，

在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，

∴AE＝5，

∵∠OPG＝90°＝∠B，∠G＝∠BAE，

∴△ABE∽△GPO，

策略七：弦與弦心距的關系：弦心距越大，弦越小；弦心距越小，弦越大。

弓形的弦與所對的圓周角的關系：圓周角越大，所對的弦越大。

策略八：利用将軍飲馬模型

9.（2014•張家界中考題）如圖，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上的任意一點，則PA PC的最小值為______．

【分析】A、B兩點關于MN對稱，因而PA PC＝PB PC，即當B、C、P在一條直線上時，PA PC的最小，即BC的值就是PA PC的最小值

【解答】：連接OB，OC，作CH垂直AB于H．

不難發現，中考考題考的不是難度，而是思維。知識是載體，素養是目标。通過如此專題複習課中，我們除了要求學生掌握基本知識、基本技能之外，還需要學生掌握基本的數學思想，積累活動經驗，因此我們需要一題多解、一題多變，并讓學生注意一些比較相似的題目的區别與聯系，避免就題講題，讓學生陷入題海戰術。

因此，需要教師在課堂中與學生一起進行總結。構建完整的知識體系，務必靈活地運用知識解決實際問題。把複習的重點知識與解題的方法進行總結提升，讓學生慢慢具備觸類旁通、上下貫通的能力。

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