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二元一次方程非負整數解有幾個

圖文更新时间:2024-08-21 16:19:57

有兩個未知數要有兩個方程組成的方程組才能有唯一解。在一些應用題中，我們有時根據條件隻能得到一個就叫二元不定方程。這時候就要無敵大枚舉法湊整數解。我是王老師，專注于小學數學！下面我舉例說明下二元一次不定方程解法和應用。

[引例] 小明是采購員，去超市大采購100個雞蛋。每個大盒裝13個雞蛋，小盒裝8個，盒子都裝滿，小明需要幾個盒子？

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二元不定方程

不定方程：未知數個數>方程個數

根據題意，我們設需要大盒X個，小盒Y個

→ 13X 8Y=100 (x,y肯定是自然數）

一個一個湊吧，必須從X=0開始

① X=0，8Y=100。不符合

② X=1，8Y=87。不符合

(X=奇數肯定不符合，奇偶性分析也很重要）

③ X=2，8Y=74。不符合

④ X=4，8Y=48。→ Y=6，是一組解

⑤ X=6，8Y=22。不符合

⑥ X=8，101 8Y=100。101大于100，Stop!

→ 小明需要：4 6=10個盒子。

交叉增量法解不定方程

[引例] 不定方程：20X-14Y=18（X,Y為自然數）

先化簡：10X-7Y=9。湊數開始

① X=0，0-7Y=9。不符合

② X=1，7Y=1。不符合

③ X=2，7Y=11。不符合

④ X=3，7Y=21。→ Y=3，是一組解

我們分析10X和7Y增量相同時就能得到一組解。增量隻能是7和10的公倍數。

→ X增加7，Y增加10即得到一組解，這就是交叉增量法

X=10，Y=13。符合

X=17，Y=23。又是一組解

……

再結合題目其他條件，比如X,Y的和最小是多少？就可以确定答案了

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舉一反三

你學會了嗎？做道練習題吧！

小明去幫班裡去買練習本，大練習本每本7元，小的每本5元。小明買這兩種練習本總共花了142元。則兩種練習本最少共買了多少本？

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