引言

我們學習了哪些特殊的四邊形？

是按照什麼順序學習這些四邊形的？

這些四邊形之間又有怎樣的關系？

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知識點

一.幾種特殊四邊形的性質

二、幾種特殊四邊形的常用判定方法：

三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系

四、其他重要概念及性質

1.兩條平行線之間的距離：

兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線

的距離叫做兩條平行線之間的距離.

2.三角形的中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

3.直角三角形斜邊上的中線：

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

考點

考點一 平行四邊形的性質與判定

∵E、F分别為AG、DC的中點，

∴GE＝ AG，DF＝ DC，

即GE＝DF，GE∥DF，

∴四邊形DEGF是平行四邊形.

(2)∵點G是BC的中點，BC＝12，

∴BG＝CG＝ BC＝6.

∵四邊形AGCD是平行四邊形，DC＝10，AG＝DC＝10，

在Rt△ABG中，根據勾股定理，得AB＝8，

∴四邊形AGCD的面積為6×8＝48.

考點二 三角形的中位線

例2 如圖，在△ABC中，點D，E，F分别是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高．

（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）求證：∠DHF=∠DEF．

證明：（1）∵點D，E，F分别是AB，BC，CA的中點，

∴DE、EF都是△ABC的中位線，

∴EF∥AB，DE∥AC，

∴四邊形ADEF是平行四邊形.

2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴∠DEF=∠BAC，

∵D，F分别是AB，CA的中點，

AH是邊BC上的高，

∴DH=AD，FH=AF，

∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，

∵∠DAH ∠FAH=∠BAC，

∠DHA ∠FHA=∠DHF，

∴∠DHF=∠BAC，

∴∠DHF=∠DEF．

考點三 特殊平行四邊形的性質與判定

例3 如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE∥BD，過點D作ED∥AC，兩線相交于點E．

求證：四邊形AODE是菱形；

證明：∵AE∥BD，ED∥AC，

∴四邊形AODE是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC= AC，

OB=OD= BD，

∴OA=OC=OD，

∴四邊形AODE是菱形.

解題思想方法

分類讨論思想

1.在一個平行四邊形中，若一個角的平分線把一條邊分成長是2cm和3cm的兩條線段，求該平行四邊形的周長是多少.

解：如圖，∵在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBE．

又∠ABE=∠CBE,

∴∠ABE=∠AEB,

∴AB=AE．

（1）當AE=2時，則平行四邊形的周長=2(2 5)=14．

（2）當AE=3時，則平行四邊形的周長=2(3 5)=16．

方法總結

平行四邊形的性質與判定中要是出現角平分線，常與等腰三角形的性質和判定結合起來考查，當邊指向不明時需要分類讨論，常見的的模型如下：

方程思想

如圖，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，BC=10cm，AB=8cm，求：

（1）FC的長；

（2）EF的長．

解：（1）由題意得AF=AD=10cm，

在Rt△ABF中，∵AB=8，

∴BF=6cm，

∴FC=BC-BF=10-6=4cm．

（2）由題意可得EF=DE，可設DE的長為x，

在Rt△EFC中，(8-x)2 42=x2，

解得x=5，

即EF的長為5cm．

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