人們是怎麼發現π的呢?我們又是怎麼知道π近似于3.14...的呢?
《物理學家》雜志早在2018年8月24日發文稱:很遺憾,π的使用時間比曆史上的記載時間還要早,所以,這個問題沒人能解答。但是據曆史記載,π在最開始使用時還不算太複雜,因此我們可以進行大膽猜測。
衆所周知,π是圓的周長與直徑之比。一切與圓相關的内容都能和π扯上關系。
測量任意一個圓的周長與直徑,然後将兩數相除,你就可以得到π了。
任意一個固定形狀的直徑都與其周長成正比,但這沒什麼特别的。此定論适用于任意形狀。如果将任意圖形擴大一倍,則其直徑與周長都将擴大一倍,它們之間的比率仍保持不變。
将一個正方形的周長除以其邊長永遠等于4。
圓的周長與其直徑的比例是一個定值,而人們認識到這一點卻早于曆史記載。但該不完全等于三的數值還需不斷精确。要計算出這個具有無限不循環特點(以3.14159265358979323846264...開頭)的數值還需要一點數學和時間。
約4000年前,古巴比倫石碑上記載π=3。可這個數值看起來似乎不是那麼準确。
如果你将一根繩子一端固定住,另一端綁上鵝毛筆或木炭,那麼你就可以畫出一個近乎完美的圓。如果用一根更長的繩子(至少得是之前那根繩子的2π倍)和一把尺子,你就可以測量出所畫的圓的周長。隻要你仔細些,你就可以發現,很顯然π≠3。隻要測量誤差低于4%,你就可以看出其中的差距。古巴比倫人編寫了《漢谟拉比法典》,建造了許多令人驚歎的建築,由此可見,他們有可能很早就有了以厘米為測量刻度的米尺。事實證明,上述的石碑很可能就是一個記錄了圓近似值大緻區間的“備忘錄”。我們知道,古巴比倫人已經得出25/8=3.125,而這個近似值的誤差在0.5%以内。得出這個值對于青銅時代的人們來說,已經很了不起了。
隻要你在做涉及圓的數學内容,π就會無時無刻不出現在你眼前,因此古代得人們有千千萬萬次機會發現π的存在,所以我們無法确定究竟是哪一次偶然機會使得人們真正發現了π(這一點正是比曆史記錄還早的研究發現的缺點)。例如,有一個高為h,直徑為d的桶的,容量為
所有的證據都說明了盡管π充滿了數學的神秘色彩,但其卻是一個實實在在的數值。這是一個你可以切實測量出來的數據。 但不論怎樣,它都不等于三。雖然圓越大,計算出來π的值越精确,但其用處會越來越小且枯燥,就好像連續吃一周的壽司自助餐一樣,吃多了總會膩。
如果你将π精确到小數點後無窮位數,那麼你就可以測算出圓的周長與其直徑之比約為1:10N。例如,已知π≈3.14,我們就可以将自行車輪胎安裝到輪辋上1厘米以内得範圍。已知π≈3.1415,則可以計算出一英畝的圓形田地外所需的圍欄長度。當然,已知π≈3.1415926535,則可以不浪費一厘米電纜線而将電纜繞地球一周。可以說,将π精确到小數點後10位是毫無意義的,但這并沒有讓數學家停下其嚴苛的演算。一次也沒有過。
定義π不僅為我們提供了實際的測量方法,還提供了數以百計的數學方法,而這個過程就是數學的精巧所在。 像阿基米德和劉徽這樣的數學家,以及與他們相距幾千年的一些不知名的古埃及人,都曾使用切割法來得出π的近似值。劉徽将π精确到小數點後四位數,這比他早約一千年的阿基米德得出的近似值還要精确些。還真是奇怪了。
在羅馬對錫拉丘茲的圍攻中,馬塞勒斯将軍以為知識無國界遂下令活捉阿基米德。遺憾的是,直到最後阿基米德也沒将幾何學原理傳授給羅馬人。
要麼是阿基米德和曆史學家失誤了,要麼是古希臘人比我們獲知了更精确的π的近似值。對于給定的圓,“内接正多邊形”是指其各頂點接觸圓(位于圓的内部),“外切正多邊形”是指其各邊相切于圓(位于圓的外部)。阿基米德通過在圓内相接和圓外相切正九十六邊形計算出圓的周長,以此獲得π的近似值。想要确定π的值,可以由内接正多邊形得出一個下限,而由外切正多邊形得出一個上限。但問題就在于:阿基米德不僅找到了正九十六邊形的周長,還發明了一種疊代算法可通過已給定n個角的圖形周長來計算2n個邊的圖形的周長。也就是說,他從正六邊形(六個角)開始,然後引導至12角,24角,48角,令人費解的事,最後他推導出96角後就不再繼續了。很顯然,他還有比計算出更多位數的π更重要的事要做。講道理,這并不是一個非常精确的數值。但到此,他可能就宣稱問題已得到解決了,因為任何人按照他的程序進行操作,都可以得到他們想要π的位數,然後繼續投入熱射線或類似的事物研究中去(說真的,當時的有錢人們甚至想制造太陽熱射線來保衛錫拉庫紮)。
每當人們運用阿基米德的疊代算法時,得出的π得近似值精确度都會提高約4倍(其收斂速率為1/4)。可事實上這并沒有聽起來那樣令人振奮。因為每5次疊代就會得出小數點後約3數字。從六邊形到96邊形阿基米整整算了4次,最後将π精确到小數點後3位。如果他再辛苦一點,重新計算該過程(例如再重複10次),那麼他将會将π精确到小數點後9位數。雖然這毫無用處,但覺得值得到處吹牛。
與現代計算方法得出的精确值相比,這些先輩們得出的近似值,不再讓人感到驕傲。阿基米德運用技術線性收斂可得出π的精确值(每次使用該算法,得出的π的位數大緻相同)。直到我們發明了二次收斂算法後,事情的發展才真正進入正題,二次疊代算法使已知π位數的數量翻倍。也就是說:如果你将π精确到十位數,那麼在下一次疊代之後,你将得出π的二十位數。當今最快的算法莫過于非常規地收斂。(每一次計算将比前一步計算結果的精确九倍)。
π的定義為圓周長與圓直徑之比,這使我們可以直接但不準确地對圓進行測量,抑或對其進行精确而但卻毫無意義的計算。 π還有更抽象的屬性(例如,它能無限不循環下去(事實确實如此)或其他任何具有可能性(也隻是可能)的形式),但這些抽象屬性需要的不隻是直接粗暴的數字計算。想得出這些更為抽象的屬性,就要立足于π的定義而不是其數值多少,忽略哪怕一個數字,我們可能得出結果但也可能被輕易推翻。在物質世界中數學的确很有用,但數學并不是“原本就生活在這裡”。 雖然π具有物理意義,但是我們主要依據其數學特性來了解它。
答案很簡單:古代人非常聰明,如果能他們能長生不老的化,他們很可能會一直算下去,知道算出來為止。而這就是阿基米德算法所蘊含的數學基礎。老實說,這其實不是阿基米德的計算方式。所以很顯然,古希臘數學家受到了錯誤理念的影響,即小詞彙蘊含大玄機。因此,即使再翻譯過後,他們的譯文仍然像希臘文那樣難以理解。
梅德斯先生的方法如下所示。如果In是内接正多邊形的周長,而Cn是外部n邊的周長,則:
你可以花費九牛二虎之力,再運用大量方程式計算來證明,随着圖形邊的數量增加,該圖形周長将無線接近π(圓的周長),或者你可以直接畫一幅畫說“看……這是真的”。
先用虛線畫一個圓,其有内接和外切n角(藍色)和2n角(紅色)的正多邊形。正多邊形每段的長度是總周長除以段數(因此,所有段均除以n)。
如果将六個等邊三角形粘在一起,則會得到一個正六邊形,并帶有一點三角,您會發現,如果您的圓的直徑為1,則内接正六邊形的周長為I6 = 3,而外切正六邊形的周長為C6 =2√3≈3.46 。
要算出正十二邊形的周長,就将C6和I6插入疊代方程式:
而這個周長都比疊代前的任何一個結果都更加接近于π,并且由于所有n的I_n <\ pi <C_n,因此我們可以找到π的範圍越來越小。以下是其運算原理:
在圓上畫内接或外切的正多邊形會形成某種對稱性。因此我們可以通過繪制一些三角形來快速地找出它們的各個角度。
也就是算出内接正多邊形的一條邊或者外切正多邊形的一角。内接正多邊形裡面的邊長可以由2n角地正多邊形推導出。紅色陰影三角形都相似(因為它們都有相同的角度),藍色三角形也都相似。
一個完整的圓為360°,因此正多變邊形的每一邊都跨度為360° / n度。那麼∠a就是這些角度的一半,因此∠a = 180 °/ n。
因為三角形中内角之和為180°,所以兩∠b之和與∠a互補(二∠b之和為90°),第三個角度為90°(以直徑為斜邊的圓内切三角形對角為90°)。因此,∠b = 90°-180 °/ n。
∠c和∠b互補,因此∠c =∠ a = 180° / n。
∠c ∠d = 180°,因此∠d = 180°-∠c = 180°-180° / n。
三角形中的角度之和為180°,因此∠d ∠e ∠ e = 180°,∠e = 90°-∠d / 2 = 90 °/ n。
最後,∠b ∠e ∠ f = 90°,所以∠f = 90°-∠b-∠e = 90° / n。
由于∠f = ∠e,所以兩個紅色三角形角度相等:它們是“相似的三角形”。類似地,由于∠c = ∠a,所以兩個藍色三角形角度相等并且也相似。當兩個三角形相似時,其邊的比例相同。
關于邊長計算如下。
利用藍色三角形的相似點,我們可以推導出:
當然,紅色三角形計算過程如下:
因此,我們從一個已知的幾何形狀和π的定義入手,找出一個計算方法,投入大量時間進行演算就可以求得一個無限趨近于π的數。
乘法和長除法比較簡單,可以手動計算。 對于古人來說,疊代算法中最難的部分是平方根以及制作計算所需的草稿紙。幸運的是,古人也有一些技巧。例如,如果要取S的平方根,隻需假設一個x,然後計算
,然後你就會得到一個比您最初的猜測x更接近
的結果。 這種方法是古巴比倫人和阿基米德人所熟知的(實際上是“巴比倫方法”),通過二次收斂,幾乎可以立馬得到你所想要的任何(合理的)精度。
所以重點就是,你可以通過運用理性思維,投入大量時間不斷進行演算,最後找到你所需要的π位數。
作者: The Physicist
FY: 加鹽牛軋糖
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