通過上一章，大家應該對點乘，叉乘和行列式的數學和幾何含義已經非常了解，知道如何去表示一個平面，這裡是傳送門，不熟悉的内容可以去惡補一下，這一章會多次的使用這些概念：

五分鐘MIT公開課-多元微積分：向量，行列式和平面

為什麼要使用矩陣，使用矩陣的動機是什麼

在生活中，我們接觸的很多東西都是線性的，或者需要簡化成線性的。多個等式的聯立得到的就是矩陣了。聯立方程就是矩陣乘法。

Matrix Multiplication 矩陣乘法

舉個熟悉的雞兔同籠的問題. 雞和兔共有 a 隻，共有腳 b 個，用矩陣的思想去表述這個問題。

假設有雞x隻，兔y隻

用矩陣乘法表示：

通用的數學符号表達方式為：

AB的乘積代表先做變換B再做變換A。我們習慣從左往右，但是矩陣計算是從右往左。直觀的解釋就是如果有兩個連續的方程 f(g(x)) ，先要計算 g(x), 再計算 f(x)。

矩陣的結合律（associativity）

補充

Identity matrix 單位矩陣

單位矩陣即對角全為一的矩陣。是一種“可有可無”的矩陣，單位矩陣的變換叫做恒等變換。

在平面上，做90度逆時針旋轉的變換

變換矩陣的每一列說明了對要變換的對象進行什麼操作。

R的第一列就是對第一個基向量做R變換的結果，第二列是對第二個基向量做R變換後的結果。

最有意思的是，通過矩陣計算大大簡化了需要用公式計算的計算量，如果考慮連續做兩次90度逆時針變換：

Matrix Inverses 逆矩陣

如果定義A的逆矩陣為M，則有

這裡A需要是 n×n的方陣，如果不是方陣的情況不在這裡讨論。

對線性系統 AX=B的解可以使用逆矩陣。等式兩邊同時乘A的逆矩陣

公式（适合小矩陣）

adj（adjoint）是 伴随矩陣

步驟（3*3矩陣)

1.首先要做的是，是找一個叫 餘子式（minors） 的東西。

餘子式是去除了一些元素的行列式。要找到A矩陣一行一列的餘子式，去掉這個元素所在的行和列，計算剩餘部分的行列式，即

得到矩陣A的餘子式：

2.找到另外一個矩陣，叫做 代數餘子式（cofactors)

代數餘子式就是給餘子式加上符号。根據棋盤圖所示， 表示保留餘子式值，-表示反轉餘子式的值。順便一提，棋盤法可以同樣用來做叉乘的符号判定。

得到代數餘子式：

3.轉置（transpose），得到伴随矩陣

行列互換

4.除以行列式

Equations of planes 平面的方程再探

之前學習點積的時候就知道如何去檢測正交或者垂直。平面的公式是：

第一種情況，平面過原點，知道法向量 N=⟨1,5,10⟩ , 對于在平面上的點 P(x,y,z) , 有

第二種情況，同樣的法向量，平面過 P0(2,1,−1)

總結下兩種情況下的特點：

• 不同情況等式右邊常數項不同

• 常數項是平面的平移距離的一個表示

• 等式左邊的系數剛好和法向量對應

一個有意思的事情是，這裡又和叉乘聯系起來了。平面方程的系數就是法向量，如何得到法向量呢？叉乘。 點乘，平面，叉乘就這麼在一起了。

舉個例子：向量 v=⟨1,2,−1⟩和平面方程 x y 3z=5是什麼關系？

快速确定平面方程的法向量，發現和已知向量不成比例，但是點積為0，說明向量垂直于法向量，所以和平面是平行的。如果把平面移到原點，如果向量和平面平行，向量的末端就在被移動到原點的平面上。

Linear Systems and Planes 線性系統和平面

線性方程組的幾何意義。

線性方程組，對于三緯空間來說（3*3線性方程組），方程組的每一個方程決定一個平面。解方程組的本質就是找平面的交點。

一般會有這三種情況：

三條交線交于一點：有唯一解

平面交線平行：沒有解，條件矛盾，無法同時滿足

平面交線重疊：有無數解，條件不足

讨論下平面方程關于常數項d，d的數值并不是平移的距離，常數項除以法向量的長度才是平面到原點的距離。

将這個問題回歸到從代數上，矩陣不一定能夠求逆是因為行列式有可能為0（矩陣的求逆公式）。所以，矩陣的行列式不為0，矩陣可求逆，方程組有解。

行列式不為0是三個平面有唯一交點的情況，行列式為0是交線平行的情況。

Solutions to Square Systems 方陣系統的解

這一節從另一個角度去認識行列式為0，為什麼方程會沒有解。

有一種方程組叫做 齊次方程組(homogeneous systems), 特點是常數項全部為0。方程組各項次數整齊，在數乘運算下不變。

齊次方程總是存在一個平凡解(trivial solution)，即原點。幾何學表示三個平面都過原點。

第一種情況，A的行列式不為0

原點是唯一解。

第二種情況，A的行列式為0

我們知道A中的項是方程組的系數，而方程組的系數又是平面的法向量。行列式為0，說明三個平面的法向量的行列式為0:

這就意味着三個法向量共面（coplanar）（參考上一章）。用這三個法向量圍成了一個不占任何體積的平行六面體。

證明有無窮多解：

存在一條垂直于三個法向量所在平面且過原點的直線，平行于三個平面，而且現在面上，所以存在無窮多解。

如何求出這些解：

對法向量做叉乘，這就是方程的非平凡解（nontrivial solution）

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如果是一般情況，系統不再是齊次方程。

if det(A)≠0

if det(A)=0 無解或無窮多解

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