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軸承是工業設備中的一種常用零配件,滾動軸承是軸承中常見的一種,其幾何模型中涉及到圓的有關知識。
軸承是在兩個同心圓組成的圓環中鑲嵌入一定數目的滾珠。
為叙述方便,我們分别簡稱軸承外框、内框、滾珠為外圓、内圓、小圓。
為保證軸承有效的滾動,這三種圓應該有如下的位置關系:
1.外圓與小圓始終内切;
2.内圓與小圓始終外切;
3.小圓之間始終外切(理想狀态);
4.内外圓始終同心。
設外圓的半徑為R,内圓的半徑為r1,小圓的半徑為r2,小圓個數為n(正整數),小圓圓心組成的正n邊形的中心角為θ(0°<θ<180°)。
不難發現,與上述四種位置關系對應的數量關系:
1.R=r1+2r2
2.θ=360°/n
3. sinθ/2=r2/(r1 r2)
【問題】若外内圓的半徑R,r1任意給定(R>r1),是否存在一定數目的小圓符合條件?
由前面的關系式:
1。R= r1+2r2
2。sinθ/2=r2/(r1 r2)
3。n=360°/θ
知道
r2=(R-r1)/2,
0<sinθ/2=r2/(r1 r2)=(R-r1)/(R+r1)<1
θ=2arcsin((R-r1)/(R+r1))不一定被360°整除,
所以n=360°/θ不一定是整數。
結論1
若R,r1的取值不能保證n為一個大于等于3的正整數,則就不一定存在符合條件小圓。
按以上相同方法讨論,不難得到下列結論
結論2
若外圓的半徑R,小圓半徑r2任意給定(R>r2),不一定存在内圓和一定數目的小圓符合條件。
結論3
若内圓的半徑r1,小圓半徑r2任意給定,不一定存在外圓和一定數目的小圓符合條件。
【問題】若給定外圓的半徑R和小圓的數目n,是否存在符合條件的内圓和小圓?
由前面的關系式:
1。R= r1+2r2
2。sinθ/2=r2/(r1 r2)
3。θ=360°/n
知道
1。θ=360°/n
2。sinθ/2=sin(180°/n)=r2/(r1 r2)
3。R= r1+2r2
聯立解得
r2=Rsin(180°/n)/(1 sin(180°/n))
r1=R-2Rsin(180°/n)/(1 sin(180°/n))
=R(1-sin(180°/n))/(1 sin(180°/n))
結論4
若給定外圓的半徑R和小圓的個數n,則一定存在符合條件的内圓和小圓。
按以上相同方法讨論,不難得到下列結論
結論5
若給定内圓的半徑r1和小圓的個數n,則一定存在符合條件的外圓和小圓。
結論6
如果給定小圓的半徑r2和小圓的個數n,則一定存在符合條件的外圓和内圓。
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