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軸承是工業設備中的一種常用零配件，滾動軸承是軸承中常見的一種，其幾何模型中涉及到圓的有關知識。

軸承是在兩個同心圓組成的圓環中鑲嵌入一定數目的滾珠。

為叙述方便，我們分别簡稱軸承外框、内框、滾珠為外圓、内圓、小圓。

為保證軸承有效的滾動，這三種圓應該有如下的位置關系：

1.外圓與小圓始終内切；

2.内圓與小圓始終外切；

3.小圓之間始終外切（理想狀态）；

4.内外圓始終同心。

設外圓的半徑為R，内圓的半徑為r1，小圓的半徑為r2，小圓個數為n（正整數），小圓圓心組成的正n邊形的中心角為θ（0°<θ<180°）。

不難發現，與上述四種位置關系對應的數量關系：

1.R=r1＋2r2

2.θ=360°/n

3. sinθ/2=r2/(r1 r2)

【問題】若外内圓的半徑R，r1任意給定(R>r1)，是否存在一定數目的小圓符合條件?

由前面的關系式：

1。R＝ r1＋2r2

2。sinθ/2＝r2/(r1 r2)

3。n=360°/θ

知道

r2=（R-r1）/2，

0<sinθ/2＝r2/(r1 r2)=（R-r1）/（R＋r1）<1

θ=2arcsin（（R-r1）/（R＋r1））不一定被360°整除，

所以n=360°/θ不一定是整數。

結論1

若R，r1的取值不能保證n為一個大于等于3的正整數，則就不一定存在符合條件小圓。

按以上相同方法讨論，不難得到下列結論

結論2

若外圓的半徑R，小圓半徑r2任意給定(R>r2)，不一定存在内圓和一定數目的小圓符合條件。

結論3

若内圓的半徑r1，小圓半徑r2任意給定，不一定存在外圓和一定數目的小圓符合條件。

【問題】若給定外圓的半徑R和小圓的數目n，是否存在符合條件的内圓和小圓？

由前面的關系式：

1。R＝ r1＋2r2

2。sinθ/2＝r2/(r1 r2)

3。θ=360°/n

知道

1。θ=360°/n

2。sinθ/2＝sin（180°/n）=r2/(r1 r2)

3。R＝ r1＋2r2

聯立解得

r2=Rsin（180°/n）/(1 sin（180°/n）)

r1=R-2Rsin（180°/n）/(1 sin（180°/n）)

=R（1-sin（180°/n））/(1 sin（180°/n）)

結論4

若給定外圓的半徑R和小圓的個數n，則一定存在符合條件的内圓和小圓。

按以上相同方法讨論，不難得到下列結論

結論5

若給定内圓的半徑r1和小圓的個數n，則一定存在符合條件的外圓和小圓。

結論6

如果給定小圓的半徑r2和小圓的個數n，則一定存在符合條件的外圓和内圓。

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