(許興華數學)
現在，我們給出一個非常奇妙的結論：
【定理1】在任意兩個不同的有理數之間必定存在着無窮多個有理數。
你相信嗎？請你認真考慮一下：你是否能夠證明呢？如何證明這個奇妙的結論呢？
【重要知識點的準備】
1、有理數之間進行有限次的加、減、乘、除的四則混合運算（作除法時除數不能為零）的結果仍然為有理數。任意一個非零有理數乘以一個無理數必定是無理數。
2、數學歸納法原理：設有一個與自然數n有關的命題p(n),(n=1,2,3,4，......），如果
（1）當n=1時命題p(1)成立;
（2）假設n=k(k≥1)時命題p(k)成立，則當n=k 1時命題p(K 1)也成立.
那麼綜合（1）（2）知，該命題p(n)對于任意的自然數n(n≥1)都成立。
有了以上兩個重要的結論後，我們現在就可以來證明【定理1】了。
【證明】設m，p是有理數，且m<p，我們設法在區間(m,p)内找出無窮多個有理數來。
其實我們可以用構造性的方法來找出，請看下圖（無論m,p距離靠得多近，為了方便大家理解問題，在畫圖的時候我們都可以把m,p之間的距離稍為放大一些，讓大家看得更清楚）：
由上面的證明，我們還非常容易得到下面另外的一個推論：
【定理2】在任意兩個不同的有理數之間必定存在着無窮多個無理數。
大家可以大膽地試一試，能否證明此定理呢？
【定理2的證明】設m，p是有理數，且m<p，我們設法在區間(m,p)内找出無窮多個無理數來。
這兩個定理告訴我們：任意兩個不同的有理數之間一定有無數多個有理數；同時任意兩個不同的有理數之間一定存在着無數多個無理數。這說明：無理數與有理數之間是“稠密”地存在着的。在數軸上誰也離不開誰了：無理數是與有理數相伴相生，緊緊相依，不離不棄的。哈哈哈！大家覺得有趣嗎？
(許興華數學)
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