“數學是工具，也是語言。可能在掌握這門工具或者語言的過程中，你們會覺得辛苦，但相信我，和發現未知的樂趣相比，這些努力和辛苦，都是值得的。一旦你意識到，我們不過是在一顆渺小星球上的渺小人類，卻在試圖掌握一種可以了解宇宙真理的玩意兒，你會突然意識到，學習過程本身就已經足夠了不起。”

——《天才基本法》

函數是中學數學最重要的概念之一。函數概念的出現，是人類思維從靜飛躍到動的必然。當人們試圖描述一個運動和變化的世界的時候，導入自變量和因變量是極為自然的!

1692年，萊布尼茨首次使用“函數”(function)這個詞，設曲線上的點在運動，曲線上的動點相應的切線和曲率被萊布尼茨稱為該動點的函數。此時它所表示的還僅僅是“幂”、“坐标”等與曲線上點有關的幾何量。而到18世紀，這一概念已擴展為“由變量和常量所組成的解析表達式”。到19世紀，解析式的限制被取消，并為對應關系所替代。函數概念的幾度擴張，反映了近代數學的迅速發展。

變量和常量

世間萬物都處在運動和變化的進程中。地球一刻不停地在圍繞太陽公轉，同時也在自轉。“坐地日行八萬裡，巡天遙看一千河”。運動和變化是永恒的，不變反而讓人疑惑。下面講述的故事再生動不過了。

1938年12月22日，在非洲的科摩羅群島附近，漁民們捕捉到一條怪魚。這條魚全身披着六角形的鱗片，長着4隻＂肉足”，尾巴就像古代勇士用的長矛。當時漁民們對此并不在意，因為每天從海裡網上來的奇形怪狀的生物多的是。于是，這條魚便順理成章地成了美味佳肴。

話說當地博物館有個年輕的女管理員叫拉蒂邁，此人平時熱心于魚類學研究。當她聽到消息聞訊趕來的時候，見到的已是一堆殘皮剩骨。不過，出于職業敏感，拉蒂邁小姐還是把魚的頭骨收集了起來，寄給當時的魚類學權威、南非羅茲大學的史密斯教授。

教授接信後，頓時目瞪口呆。原來這種長着矛尾的魚，早在7000萬年前就已絕種了，科學家們過去隻是在化石中見到過。眼前發生的一切，使教授由震驚轉為打一個大大的問号。于是，他不惜定下10萬元重金，懸賞捕捉第二條矛尾魚！

時間一年又一年地過去，不知不覺過了14個年頭。正當史密斯教授抱恨絕望之際，1952年12月20日，教授突然收到了一封電報，電文是：“捉到了您所需要的魚。”

史密斯見電欣喜若狂，立即乘飛機趕往當地。當教授用顫抖的雙手打開魚布包時，一股熱淚奪眶而出……

那麼，為什麼一條矛尾魚竟會引起這樣大的轟動呢？原來，現在捉到的矛尾魚和7000萬年前的化石相比，幾乎看不到變異！矛尾魚在經曆了億萬年的滄桑之後，竟然既沒有滅絕，也沒有進化。這一“不變”的迷惑，無疑是對“變”的進化論的挑戰！究竟是達爾文的理論需要修正呢，還是由于其他更加深刻的原因？生物學家對此進行了深入研究，得出幾種結論，這裡我們暫且不表。

我們先講一個最簡單的函數。設小明的年齡為x，媽媽的年齡為y，我們得到一個函數:y=x 26

x是自變量，y是x的函數。把上式變形:

y-x=26

于是我們知道，在小明母子的年齡的函數關系中，年齡差是不變的常量。

我們前面講過，這個世界的一切量，都随着時間的變化而變化。時間是最原始的自行變化的量，其他量則是因變量。一般地說，如果在某一變化過程中有兩個變量 x ， y ，對于變量 x 在研究範圍内的每一個确定的值，變量 y 都有惟一确定的值和它對應，那麼變量 x 就稱為自變量，而變量 y 則稱為因變量，或變量y的函數，記為：

y = f ( x )。

黎曼

函數一語，起始于1692年，最早見自德國數學家萊布尼茨(1646～1716)的論文《有關切線的逆方法即函數》;記号f(x)則是由瑞士數學家歐拉于1724年首次使用的。上面我們所講的函數定義，屬于德國數學家黎曼。我國引進函數概念，始于1859年，首見于清代數學家李善蘭的譯作。

一個量如果在所研究的問題中保持同一确定的數值，這樣的量我們稱為常量。常量并不是絕對的，例如“三角形内角和為平角”的定理，隻在平面上才成立，但絕對平的平面是不存在的。即使是水平面，由于地心引力的關系，也是呈球面彎曲的。然而，這絲毫沒有影響大家去掌握和應用這條定理。

函數概念的産生

正如要了解一個人就需要知道他的成長過程一樣，我們簡單講述一下函數概念的産生和變遷。

今天的數學起源于古希臘數學，但在古希臘數學中。完全沒有函數之類的概念，也沒有人去想過，然而。在古巴比倫數學中，曾出現過函數性質中的一些内容．

在很多場合，給“對數”以理論基礎的尼古拉。奧雷姆（1323~1382）的名字與最初的函數概念的萌芽聯系在一起．但是，對于歐洲的數學，引入函數概念的早期形式是在文藝複興時期（1400~1600）以後，數學與自然科學的相互影響，促使它開始發展．

伽利略（1564~1642）的自由落體法則可用語言表達為：在自由落體運動中，物體的位置 y 在時刻x時是 y＝½gx²．這個法則包含了“變量 y 與變量 x 的各個值（時刻）相對應，并由x确定”的函數概念．

費馬（1601~1665）和笛卡兒(156~1650）利用曲線的形狀考慮了獨立變量x和從屬變量 y 的關系。格裡高裡（1638~1675）給出了能得到各種值的x，即給出了變量的概念。這使得原本用曲線的形狀來考慮的函數，變成了可以通過變化的未知量x的某種形式來表示。

與牛頓（1642~1727）同為微積分學創始人的萊布尼茨（1646~1716）寫了一篇名為《有關切線的逆方法即函數》的論文，首次給出了“函數”這個名你，設曲線上的點在運動，曲線上動點相應的切線和曲率被萊布尼茨稱為該動點的函數．

函數定義的發展

萊布尼茨之前，傑克·本（1654~1705）和約翰·本（1667~1748）兄弟的論文中實質上已使用了表示函數的量。

但是，最早有意識地給出函數定義的人是奧伊勒(1707~1783)．他在《無窮小分析入門》一書中，給出了這樣的定義：以定量和變量構成的解析式稱為這個變量的函數，解析式的例子有a 3x, ax -4x², ax b √a² -x²等等．

柯西

柯西（1789~1857）在其所著的《分析學講義》中對函數給出了進一步的定義：“幾個變量之間存在着關系，随着其中一方的值的确定，另一方的值也可以确定下來的時候，一般考慮用前者來表示後者，此時，前者叫做獨立變量，後者叫做這個變量的函數。”不用式子來表示變量之間的對應關系，正是柯西比奧伊勒進步的地方．

柯西

傅裡葉(1768~1830)揭示出了無論怎樣的函數 f ( x ),都可以用三角函數(cos nx,sin nx)的疊加來表示.即可以表示為

f ( x )= a₀ a₁cosx b₁sinx a₂cos2x

b₂sin2x … aₙcos nx bₙsin nx …,

這就是所謂的傅裡葉級數.

更進一步擴展了函數概念的是狄利克雷（1806~1859)．在與傅裡葉級數有關的論文中，他叙述道：“假設 a 和 b 是兩個已定的值，x是在 a , b 之間取值的變量，對于x的一個值，恰好有一個 y 值與之對應，而且，随着x在 a ,b間的連續變化， y也連續地變化。此時， y被稱為 a 到 b 這個範圍内的 x 的連續函數．這時，既沒有必要在這個範圍内利用同一規則以x來表示 y ,也可以不用一個确定的關系式來表示x和 y 之間的關系．”較之于用“對應”來表示的函數，這個定義更為明确．

康托爾

在19世紀後半葉，康托爾（1845~1918）創立了集合論。到了20世紀，集合論作為數學各分支的基礎而得到發展，成為極其重要的理論。站在集合論的立場上，函數的定義就更一般化了，從而确立了映射這樣的函數概念。

波赫那在《科學史中的數學》裡歸納了物理學中函數的作用，這裡引用如下：

“所謂函數是一種數學表達方法，在使用了它以後，可以正确地描述自然的狀态、現象和變化等，在物理學的文章中出現的數學符号是‘科學語言’中的文字和音節。在這些符号的範圍内，物理學中出現的函數用數學式來表達意思會更通順，不僅如此，從物理學角度來看，它有意義并且具有專業性，而且，物理學中的數學函數将原因、從屬性和其他許許多多的關系表現了出來，并進行支配，它還對現象的複雜性與簡單性予以測定和評價。同時，這些函數也可以表示某一系統狀态的不平衡性或不穩定性，從而可以進一步評價出其一般化、特殊化、個别化。——這就是函數．”

函數是什麼？我們來聽聽理科大學生的一些回答。

①映射與對應

②把變量x變換為 y 的操作表示因果關系

④諸元素之間的關系的方程

⑤表示自然與社會現象的數學式

在問卷的回答中，也包含了一些清楚地抓住了本書的主題“直覺思維時的函數作用”的這類答案，如：“這是一種能抓住隐藏在不規則現象中的秩序的方法”,“是适用于人的一切思維的萬能工具”,“是對混沌的數集給出生命的東西”等等。

還有學生能夠感受到函數的美，這令人振奮。因為這不僅涉及到函數對直覺思維的作用，還需要能夠理性地理解它，感性地接受它。

就像數學家岡潔博士經常強調的那樣，即使是邏輯性的數學，推進研究的也不是邏輯；思維得以進行的根本，在于人的積極性。

也有人擔心，如果進一步使用函數，會令人對現象都習慣于用原因和結果的類型來表示，它将使人缺乏魅力。或許讀者中也存在着有這一心理的人，故而在這裡要加上一句：希望大家在閱讀此書的同時能明白，由豐富多彩的體驗所證實的人類的魅力，正是思維中産生函數的原動力；這種思維體驗正是魅力産生的基石。

上圖是日本辭典對函數的解釋。

函數還可以用圖形來表示。

古希臘不存在函數的原因

數學的幾何和代數兩個分支，長期以來都是相互割裂，老死不相往來的孤島。漫長的古典數學時期結束時，轉折點出現了。

恩格斯說過:“數學中的轉折點是笛卡爾的變數,有了變數,運動進入了數學,有了變數,辯證法進入了數學,有了變數,微分學和積分學也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻産生,并且是由牛頓和萊布尼茨大體上完成的,但不是由他們發明的。”

恩格斯說的變數就是變量。作為溝通幾何和代數的橋梁，變量和函數正是解析幾何的精華所在。

恩格斯曾經把對數的發明和解析⼏何的創始、微積分的建⽴稱為17世紀數學的三⼤成就。

不得不說，恩格斯的以上論述是相當精辟和深刻的，揭示了變化、 運動與函數這三者的緊密聯系。

接下來，我們談談古希臘不存在函數的原因。

為什麼古希臘不存在函數？

一般認為，古希臘的思想是靜止的、幾何學的。這就是古希臘幾何學發達，但分析學、函數不發達的原因所在。然而事實上，古希臘很早就有了“世界的本質是運動的”這種思想，這在文藝方面表現為阿波羅⁽¹⁾式的作品向對立的狄俄尼索斯⁽²⁾式的作品的轉變．

⁽¹⁾阿波羅是希臘神話中的大陽神，主管光明、青春、醫藥、畜、音樂、詩歌。

⁽²⁾狄俄尼索斯是希臘神話中的酒神，相傳他首創用葡萄鬣酒。古希臘人在祭祀他時常表演合唱和舞蹈，希臘戲劇即起源于此。

任何時代，在哲學、文藝、科學等任何領域中，這兩種傾向、兩種思潮的對立都存在。

不過，在古希臘，由于屬于後者的學派，即“運動派”的人在數量上處于劣勢，導緻無人在數學上發這種思想，這可以說是古希臘沒有函數的原因，但是，這一學派的哲學思想是與把物質看作由“原子”構成的“原子論”相聯系的．經過了文藝複興時代，它仍與今天的原子論有聯系，這一點是很了不起的！

到了現在，我們周圍廣袤的自然界中充滿了美妙的和諧與神奇的變化．函數正是為了記叙、追蹤這些變化而産生的，繼而，随着函數概念的确立和發展，引入了坐标來研究幾何學，使靜态圖形的性質也可以使用函數來研究了，作為連接着代表靜态世界看法的幾何學和代表動态的函數之間的橋梁，笛卡兒所引入的坐标具有劃時代的意義．

函數是思維的軟件

能說清楚“思維”就能透徹地理解“函數”，以回想元軍為例。

筆者曾在報紙上讀過這樣一則新聞：目前，正在進行對沉沒于博多灣的元朝軍船遺物的調查，文永十一年十月五日，元朝及高麗的聯軍襲擊了對馬、壹岐，之後，在博多灣登陸并驅散了日軍，如果那天晚上沒有席卷博多灣的台風，九州恐怕就被元軍占領了，對待敢于抵抗的民族，若按元軍以前的所作所為來判斷，九州的居民也許被砍盡殺絕了，不僅如此，京都、鐮倉也會被占領，這樣，日本有史以來首次被外國人統治的曆史恐怕要從七百年前就算起了吧？

如果真的那樣，這以後的日本曆史就要完全改寫了，最大的影響就是，日本人的先祖多數被殺，那麼，包括筆者和讀者在内的許多人都不存在了，在這裡生活的是其他人．我們每個人現在仍生存在這裡，是個近乎于奇迹的偶然事件，即使沒有像元軍那樣的大事件，隻要過去有一個小小的事件，使當時的現實發生了不同的變化，那麼，在我們身邊，現在就很有可能産生了極大的變化．

不過，每個事件雖然乍一看是偶然發生的，但從曆史的進程來看，偶然性很小，對于元軍來說，九州山地很多，并不适合他們所擅長的密集騎兵戰，因此戰争會是長期的，這樣一來，沒有武器和糧食補給的

①文永十一年即公元1274年。

元軍就沒有什麼勝算了。所以得出的結論是：即使沒有那場台風，也不會有什麼改變日本曆史的大變化發生。

人類獨有的特技——思維

人類不僅能對近在眼前的對象，而且還能對沒有直接經驗過的、遙遠的過去或遙遠的地方所發生的事，超越時間和空間的限制想辦法去了解，把外部廣闊的世界映入自已的頭腦之中。這是人類獨有的、絕妙的特殊能力，帕斯卡明确地說過：“人類是為了正确地思考而産生的，這是他全部的尊嚴、全部的價值所在，他所有的義務就是正确地思考。”

針對某個對象進行思考，這是其他動物不可能有的行為。現在的問題是，它是由怎樣的過程構成的呢？例如，當我們要對“元軍來襲擊”這件事進行思考的時候，有關元軍的數據（知識）就是必要的了。

記憶中的知識雖然很不起眼，但卻給出了開始思維的契機，起着重要的作用。在思維過程中，必要的、詳細的知識，可以通過對百科辭典或曆史書籍的查閱而得到，但是，僅僅收集這些知識可能隻對智力競賽有幫助，而不能推動思維的進行。那麼，這裡還缺少了些什麼呢？這裡還缺少了把知識作為素材來推進思維的“軟件”.

思維過程中的軟件

例如如在做塑料模型時，要按照說明書來安裝；在用小方塊那樣簡単的組合玩具制作物體時，要一邊想象着成品的樣子，一邊考慮組合的步驟，可以說，這種組合說明書，腦中的組合步驟等等，就是推進思維“軟件”。

在思維過程中，為了連接合适的知識素材而得到有意義的結果，用來推進思維的一個個“步驟（軟件）”是必要的．

在考慮“元軍來襲擊”這件事的時候，就使用了這樣的軟件，以有關元軍的報紙新聞為契機而開始的思維，是用提出了“如果沒有台風，日本将會怎樣”這個問題，之後尋求答案的形式進行的。此時，問題的提出是一個重要的軟件，帶着這個問題，使用另一種名為“調查先例及類似問題的解答”的軟件，将元軍同中國和波斯的戰争以及元軍占領中國和波斯時的情況相對照，然後考慮對現在的自己有什麼影響．像這樣，我們在考慮問題的時候，不知不覺會準備思維的軟件，而且，這個軟件越是與自已關系密切(如考試中問題的解答、企劃的發表、就職的工作等)，我們越會做慎重且嚴密的準備。

不管怎樣，人類在許多範圍内(領域中)都有着很好的軟件，這與其他動物完全不同。

函數——軟件的作用

怎樣做才能使函數變得在生活中有用呢？這裡有一個啟示，偉大的數學家波赫那在其著作《科學史上的數學》中強調：“函數并不起源于文藝複興，而是在它之後，但它與數學分析學的起源緊密地聯系在了一起，最後函數擴展到了數學的各個分支，還進一步擴大到了‘合理思維’的許多領域。”這就說明了函數不單單是解決計算問題的工具，它還與更廣泛的人類思維的本質有關．

在希臘數學經過文藝複興走向近代數學的發展過程中，以幾何學為代表的靜止的、叙述性的東西逐漸成為分析學、力學這種運動的、有功能的東西。而且，在這個發展中，擔任了主角的是函數，接着，函數拓展到了數學的每個領域并發揮着作用，不僅如此，它也成為在數學之外的許多領域中合理思維所使用的軟件。

如果從函數功能類型的更高度抽象化本身來考慮，這也是當然的結果。即是說，為了從眼前的問題中導出函數，首先要進行的就是第一次類型化，即抓住輸入數據和輸出數據的類型，把它們分别作為獨立變量、從屬變量，這個類型可以說是記叙性的。接下來的第二次類型化，就是去發現這些類型間存在的關系，這個東西就是函數．

對象的分類與關系的發現

人類為了思維，就必須把要研究的事物或現象等對象（數據）根據類型進行分類。這種分類不是一成不變的，随着看法的改變，相同的數據往往被分成不同的類型．

分類是為了利用類型把要研究的對象與其他的事物拉上關系。事物因與别的事物有某種關系而成為有意義的東西。對于類型本身也可以這樣說。如果僅僅是從對象（數據）中抽出類型，思維就無法繼續進行下去。我們應當這樣進行思維:這個類型與其他類型之間有什麼關系？對這個類型能不能進行某種操作而使它變換成其他的類型？像這樣的與其他類型拉上關系或進行變換，就是思維軟件的本質。

發現了現象之間的關系，或者把某事物（數據）變換成其他的事物，在被認為是人類思維最抽象化的數學中，也是本質的軟件。

數學天才高斯曾這樣說過：“從最一般的意義上說，數學是‘關系的科學’，在全部的内容中，對‘關系’作出抽象．”

高斯

函數是最直接地使用關系和變換的。函數把分散的數據當作具有密切關系的有意義的東西，對這些數據起着統一的作用。關于函數的功能，施彭格勒曾說過：“數學中，存在着函數意味着有的種類具有全面的機動性；不存在函數意味着有的種類具有全面的靜止性．”

正如前面所叙述的那樣，古希臘的數學中是不存在函數的，因此隻能處理幾何學中那些靜态的東西，可以說它僅停留在思維的分類階段，到了近來，漸漸引入了函數這個具有功能性的概念，開辟了從因果關系這一方面來分析天體運動等動态現象的道路。

關于邏輯思維，可以認為它是随着對因果關系的探索而進行的。函數的功能和邏輯思維的本質有着深刻的關系。

什麼是函數般的表達思想

隻要活着，人就必須要為提出問題、解決問題而進行思維。

為了推進思維，并得出有意義的結果，就必須抛棄“所有事物都是随機的”這一想法。要想一想，正在思維的問題中，是否隐藏着什麼普遍的、一般的現象呢？如果想到了這一點，那就開始了“函數般的表達思想”。

類型的發現

一邊觀察正在考慮的問題中發生的每個具體情況，一邊要尋找每個情況的原因之間存在的類型和結果之間存在的類型，并發現原因的類型和結果的類型之間的連接關系，就達到了“函數般的表達思想”這一目标．

我們都希望能從看起來複雜而又混沌的數據中或多或少地看到一些秩序與和諧。相對于複雜和混沌，人心本來就偏愛單純與秩序，追求和諧與美．一個人的生活狀況左右着他心中的想法，具有“函數般的表達思想”的方法的人，從混沌的狀況中發現秩序的意志是不會弱的。

在考慮面前所要解決的問題時，首先進行的是直覺思維，沒有發現問題的類型之前，邏輯思維是不起作用的。按照這個過程，思維首先會向着如何把握問題類型的單純性、和諧性的方向進行。在發現了問題的簡單明了的類型後，就會直覺地得到這個問題的答案。之後，就可以利用邏輯思維來檢驗這個答案是否正确，并且可以用他人能理解的形式表示出來。

為了創造新事物，必須在邏輯思維之前根據直覺來發現類型，這個過程對于解決問題來說，往往是最困難、最費時間的。

愛因斯坦經過了7年的潛心研究，才創立了相對論，而從他對自古以來的時間概念産生懷疑開始，到他關于時空相對性的論文的完成，隻用了五個星期。從時間上說，這個新思想在浮現的那一瞬間，就被直覺地肯定了，因此邏輯思維隻用五個星期就完成了。

這種直覺思維是不能委托他人來完成的，愛迪生曾經說過：“我可以雇用數學家，但數學家卻不能雇用我．”正像愛迪生所說的那樣，把發現了類型以後的邏輯思維委托給他人，仍可能得到與自已相同的結果；而把直覺思維委托給他人，是辦不到的．

數學的靈活運用

對于具有數學構造的類型，可以使用數學邏輯．若能用函數來表示類型，則數學邏輯的運用就變得簡單了，自然科學之所以有效，其根源就在于用函數描述了自然現象，正如波赫那和威格納所言：數學能夠如此巧妙地描述自然現象，真是近乎于一種奇迹！

不少自然現象，與我們以為會對它産生影響的大量條件沒有關系；自然現象往往具有隻是極少數因素在起作用的簡單明了的類型，利用數學，它将變得很簡單，無論是什麼問題，要解決它的話，不使之複雜化使之簡單化，常常是不可缺少的。

将數學應用于現實問題時，要把現實世界複雜的現象中多餘的部分去掉，而隻抽出本質的性質（類型)，然後将其數量化．伽利略發現了物體的自由落體法則，他對于物體的形狀、大小以及空氣、風等看上去似乎對物體的下落有重要影響的東西統統不考慮；而且他還除了人們憑經驗以為的、重的物體下落就快這種錯誤經驗，從而發現了物體自由下落的距離是時間的函數，可表示為

y =½gt²

伽利略是第一個把重量也排除在自由落體運動之外的人，

僅由本質所表現的事物往往簡潔得令人吃驚。它擁有超越空間和時間的一般性．數學作為極度抽象化的學問體系，提供了追求簡潔性、一般性的軟件．

掌握“函數般的表達思想”

将以上所講的内容作一個總結，對于“解決問題的思維”可作如下的歸納：

(1）發現隐藏在作為問題的現象中的類型；(2）在一個類型與其他類型的聯系或變換中，發現新的類型并了解其意義；

(3）利用類型之間可以得到的關系，了解具體的現象之間的關系。

這個過程與發現函數的過程是完全一一對應的．即函數是：

(1）從作為問題的現象中确定哪個為變量（元素）;

(2）發現變量（元素）之間的對應關系；

(3）利用得到的函數，了解變量被賦于具體的值時，現象之間的關系。

一目了然的是，思維和函數之間也存在着函數關系．

正如高斯所說的，數學是研究關系的學問．對于人類的思維來說，所謂認識現象，其結果就是了解現象之間的關系．是否可以“單獨”地認識現象，這一問題不屬于合理思維的範圍，而屬于宗教的領域。如果可以說，人類了解事物就是了解它與其他事物的關系的話，也就可以說，直接表現了“關系”的函數就是思維的本質。

這樣看來，“函數是表現元素間的對應與映射的，但并不一定要把它們的對應關系用數學式表示出來”這個集合論的函數定義就是非常含蓄的定義了．“函數般的表達思想”的本質是：在發現了類型後，去追求類型之間的關系．而這種類型能否數量化，關系能否用數學式表示，則是次要的。

無論是自已使用數學，還是拜托他人，首先，函數般的表達思想是必要的。僅僅把事物用 y = f （ x ）來處理并不是對函數的靈活運用。相反，在日常生活中，不使用數學式就可以靈活運用函數的情況出現得更多，比比皆是.

特别收錄

數學辭海第一卷關于函數的相關資料。

參考書目:《函數在你身邊——直覺探索函數世界》，講談社原版，權平健一郎 神原武志 合著，科學出版社，2001。

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