題記

人工智能，中國不可能發展很快。人工智能需要大量的數學家，需要大量高超級的計算器，是超級能力的鍊接、超級的程序器。這些地方來說，中國還是一個科技上在起步的國家。

--華為創始人 任正非

大家好！我是小劉同學！

今天分享的三道題，是對前一篇發文的繼續，深化加強對知識點的學習。

第一題

請看題：等腰三角形一腰上的中線把該三角形的周長分成13.5和11.5兩部分，求這個等腰三角形各邊的長。

大家看到這道題，是否似曾相識呢？

沒錯。它與小劉同學之前發文《數學：三角形的中線》裡的那道題屬于同一題型，我們可以将兩道題進行對比學習。這道題是以文字叙述的形式給出的，沒有圖形，也沒有字母。因此，可以先根據文字叙述畫出圖形，标注字母，利用圖形更好地理解題意。由于腰和底邊不相等造成的中線把三角形的周長分成不相等的兩部分，因此既要考慮到腰比底邊長，又要考慮到底邊比腰長。

通過對比，我們發現能依據分類時的着眼點不同，采取不同的解題思路：前一題着眼在依據中線所劃分出的周長不同，此一題我們則可以着眼在依據“腰和底邊不相等”這個條件，劃分為“腰比底邊長”和“底邊比腰長”兩種情況。當然，無論在兩種解題思路中采取哪一個，我們都可以解這兩道題中的任意一道。如下：

①那我們先嘗試直接套用前一題的解題思路，依據中線所劃分出的周長不同進行分類。

我們的解答過程是：如圖，設AB為X，即AB=AC=X，則AD=CD=½X，從而可以列出方程。

情況一，若AB AD=13.5,則X ½X=13.5，解得X=9，即AB=AC=9，則CD=½×9=4.5，故BC=11.5-4.5=7。此時AB AC>BC，三角形存在，所以三邊長分别為9,9，7。

情況二，若AB AD=11.5，則X ½X=11.5，解得X=23/3，即AB=AC=23/3，則CD=½×23/3=23/6，故BC=13.5-23/6=81/6-23/6=58/6=29/3。此時AB AC>BC，三角形存在，所以三邊長分别為23/3,23/3，29/3。

綜上所述，該等腰三角形各邊的長分别為9,9，7或23/3,23/3，29/3。

②接下來，我們再使用新的解題思路，依據“腰和底邊不相等”這個條件所劃分出的兩種情況進行分類，能夠證實最後的結果都是一樣的。

我們的解答過程是：如圖，設在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的中線。

依題意，當AB>BC時，AB-BC=13.5-11.5=2，則AB=BC 2。所以△ABC全部的周長即為AB AC BC=（AB AC） BC=2AB BC=2(BC 2) BC=13.5 11.5，解得BC=7，則AB=AC=BC 2=7 2=9。

而當AB<BC時，同樣的，BC-AB=13.5-11.5=2,則BC=AB 2。所以△ABC全部的周長即為AB AC BC=（AB AC） BC=2AB BC=2AB AB 2=13.5 11.5，解得AB=23/3，則AC=23/3，BC=AB 2=23/3 2=23/3 6/3=29/3。

綜上所述，該等腰三角形各邊的長分别為9,9，7或23/3,23/3，29/3。

第二題

請看題：如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的中線，若△ABD的面積為6，且BD邊上的高AE為3，求BC的長。

這道題，我們同樣存在兩種解題思路：

①從線的角度

我們的解答過程是：因為已知若△ABD的面積為6，且BD邊上的高AE為3，運用三角形面積公式S=½ah（面積=底×高÷2，其中a是三角形的底，h是底所對應的高）可得：BD=6×2÷3=4。又因為已知AD是△ABC的邊BC上的中線，所以根據三角形的中線定義可知CD=BD=4,那麼答案就是BC=CD BD=4 4=8。

②從面的角度

我們的解答過程是：因為已知AD是△ABC的邊BC上的中線，△ABD的面積為6，而我們知道三角形的中線平分面積，所以整個△ABC的面積為12。又因為已知BD邊上的高AE為3，運用三角形面積公式S=½ah（面積=底×高÷2，其中a是三角形的底，h是底所對應的高）即可得：BC=12×2÷3=8。

第三題

請看題：如圖，AD是∠CAB的平分線，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于點O。

（1）證明DO是∠EDF的平分線。

（2）證明将“DO是∠EDF的平分線”與“AD是∠CAB的平分線”“DE∥AB”“DF∥AC”三個條件中的任一條件轉換，所得說法都正确。

（1）

我們的證明過程是：如圖所示，在△ABC中，

因為已知AD是∠CAB的平分線，我們根據三角形的角平分線定義，可知∠EAD=∠FAD。

又因為已知DE∥AB，DF∥AC，我們根據“兩直線平行，内錯角相等”的規律判定∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD，所以等量代換可知∠EDA=∠FDA。這樣，又符合了三角形的角平分線定義，則DO是∠EDF的平分線。

（2）

我們的證明過程是：首先将這一共的四個條件編号，将“DO是∠EDF的平分線”編為①；繼而将“AD是∠CAB的平分線”編為②，“DE∥AB”編為③，“DF∥AC”編為④。

證明一 用②交換①

這裡其實和第一問的證明過程類似，因為已知DO是∠EDF的平分線，我們根據三角形的角平分線定義，可知∠EDA=∠FDA。

又因為已知DE∥AB，DF∥AC，我們根據“兩直線平行，内錯角相等”的規律判定∠FAD=∠EDA,∠EAD=∠FDA，所以等量代換可知∠FAD=∠EAD。這樣，又符合了三角形的角平分線定義，則AD是∠CAB的平分線。

證明二 用③交換①

因為已知AD是∠CAB的平分線，且DO是∠EDF的平分線，我們根據三角形的角平分線定義，可知∠EAD=∠FAD，且∠EDA=∠FDA。

又因為已知DF∥AC，我們根據“兩直線平行，内錯角相等”的規律判定∠EAD=∠FDA，所以等量代換可知∠FAD=∠EDA。我們再根據“内錯角相等，兩直線平行”的規律可判定DE∥AB。

證明三 用④交換①

這裡是與證明二的證明過程類似，因為已知AD是∠CAB的平分線，且DO是∠EDF的平分線，我們根據三角形的角平分線定義，可知∠EAD=∠FAD，且∠EDA=∠FDA。

又因為已知DE∥AB，我們根據“兩直線平行，内錯角相等”的規律判定∠FAD=∠EDA，所以等量代換可知∠EAD=∠FDA。我們再根據“内錯角相等，兩直線平行”的規律可判定DF∥AC。

綜上所述，可以證明題目說法正确。

謝謝大家，下回再見！

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!