當我們走在大路上時，總會有一幢幢高樓大廈，一條條縱橫交錯，綿延數公裡的公路 ，以及周邊的花草樹木，甚至一些正在施工的建築物及其旁邊的彙聚成堆的一粒粒沙子和水泥、石灰粉等物體映入眼簾，它們都和空氣中的一部分灰塵一樣，都是肉眼可見的實物，都是宏觀物體 。

根據物理學常識，一般認為空間尺度大于10^-10m數量級時，都可稱為宏觀尺度。 但該尺度範圍内的一些物質，也小到連我們的眼睛都不能直接看到，如熱學中描述的各種氣體分子，又如空氣中的一部分微小的塵埃。它們的特點是：該尺度範圍内的任何宏觀物體(包括單個分子)的運動遵從經典物理學或相對論力學定律。顯然，該尺度也可以到超宏觀——宇觀尺度，它是主要由萬有引力和電磁力起作用的各種天體和天體系統所在的尺度，如地球、太陽系、銀河系、河外星系所處的大尺度，它們可用肉眼直接看到，或借助天文望遠鏡、遙感衛星、空間探測器等儀器或設備看到。

但在宏觀小尺度裡，通常認為空間尺度在1~100納米之間時，又可稱之為介觀尺度。如各種超細微粒(納米粒子)，其線度就在1~100nm之間；又如，化學常識裡能産生丁達爾現象(即一束光通過膠體時，會出現一條光亮的“通路”)的一種介于濁液與溶液之間的分散系——膠體，如氫氧化鐵膠體，其分散質的粒度也在1~100nm之間；再如，根據生物學常識，在一大類微生物家族——病毒家族裡，也有一部分個體的尺寸也在該範圍内，如大家有所耳聞的乙肝病毒的線度約42nm，甲型H1N1流感病毒的線度約為90nm，連一部分新型冠狀病毒的線度也在該範圍内 。總之，這類顆粒的結構既不同于原子、分子等微粒，也不同于常見的各種宏觀物體，其性質介于宏觀物體和微觀粒子之間，既有明顯的量子特性，又有宏觀物體的經典特性乃至生命特性。

由此推出，當空間尺度數量級在10^-10m以内時，都可劃為微觀尺度。其數量級可以仍為10^-10m，也可以是10^-11m，還可以持續縮小。該尺度上限為物質原子或小分子所在的線度，即10^-10m的1~10倍，如氫分子的線度約為2.3埃(米)，氧原子的線度約為1.48。其特點是：處于該尺度内的任何物質，具有常見的“波粒二象性”“不能同時确定粒子的位置和動量”和被愛因斯坦稱為鬼魅般的超距作用的“量子糾纏”等微觀粒子的基本屬性，其運動主要遵從量子力學定律。

當然，在社會科學、數學科學乃至思維科學領域，宏觀也指大的方面或總體，而微觀是指小的方面或個體。如經濟學常識裡的宏觀經濟學研究國家整體經濟行為，微觀經濟學研究個體(家庭、企業和市場)經濟行為。如數學科學裡，宇觀或宏觀數學可分為物質數學和精神數學乃至很可能存在的研究最廣大世界裡除物質和精神以外的“外存在”的空間形式和數量關系的“外存在”數學 ，宏觀或介觀數學可分為确定性數學、随機性數學、模糊性數學和不可能性數學，而微觀數學包括常見的算術(數論)、代數、幾何、三角學、函數論、微積分、微分方程、概率論、數理統計、随機過程、圖論、拓撲學、離散數學、量子數學、數理邏輯、運籌學等數學分支學科。

因此，通過數學常識，從宏觀的角度來看，現實世界的不确定性事物包括随機性和模糊性事物，它們分别可用随機數學和模糊數學定量表達。又由于模糊數學在現實世界裡不能對一些模糊概念或現象用邏輯代數裡的一個确定的二進制數0或1進行定量描述，它建立在模糊集合、隸屬函數等知識基礎上，且隸屬函數的一系列在0和1之間的函數值已能确定所考察元素(即函數值對應的自變量結果)對該模糊集的從屬程度，即每個元素在各個模糊集裡沒有明确的界限，但能用多個純小數分别準确地表示各自的元素對集合的從屬程度，最終會實現經典數學裡的完全确定。如模糊概念“高個子人群”就是一個模糊集 ，如果人為給定一個标準 ，把1.8米以上身高稱為高個子 ，1.7米以下稱為矮個子，那麼，一米八以上身高的人，在這個高個子人群裡的隸屬度都是1，這與經典的确定性集合是相交的，但個頭沒有一米八時，如一米七以下時，在這個高個子人群裡的隸屬度都是0，即不屬于這個高個子人群，而在一米七和一米八之間時 ，比如1.755米，其從屬程度就在0和1之間，如其在高個子人群裡從屬度可以簡單定義成 (1.755-1.7)/(1.8-1.7)=0.55，顯然，個子越高，從屬度越高。身高從屬度為純小數時，如該例中的1.755米，由于沒有達到1.8米，所以其在矮個子人群裡從屬度也可以簡單定義成 (1.8-1.755)/(1.8-1.7)=0.45=1-0.55，顯然，個子越矮，從屬度越高。所以依此标準，可以說這種身高的人不高不矮，偏高一點點，且這種身高在這兩大模糊集中都确切存在，從而在元素整體上等效于經典集合中的隸屬度隻能為1的确定性元素。

而對于随機數學，它包括常見的概率論與數理統計、概率論與随機過程、随機運籌。其根基就是概率論，即研究随機現象的統計規律性 ，它反映了大量偶然事件在統計上的必然性結果，這些結果都是确定的 ，也随機試驗的一切可能性結果是确定的，它們組成了其随機變量的定義域——樣本空間。如随意擲一枚普通骰子時，它顯然如同微觀粒子一樣，也是在作無規則運動，隻不過擲到各點的大量偶然結果的統計性和穩定性頻率——概率都是1/6，但所有點數都屬于有上、下确界的有窮集合{1，2，3，4，5，6}，相對于該集合而言，擲一個骰子出現任何期望、合理點數的随機事件反而質變成了必然事件 。

又如，在客觀世界裡，根據物理學常識，對于任何一個微觀粒子，我們不可能同時準确地知道它的位置和動量，如果用△x表示任何微粒位置的不确定量，用△p表示其在x方向上的動量的不确定量，那麼這些不确定量滿足關系式△x△p≥h/4π(h為普朗克常數)，這說明對于任何微粒，當其位置的不确定度越小(即粒子的空間位置越準确)時，其動量的不确定度就越大，即越測不準其動量。反之亦然。這種測現象還與測量技術、測量儀器和測量精度無關，其根源是微觀粒子的内禀屬性 。總之，我們無法描述其運動軌迹，隻能用概率來描述其可能出現的那些空間區域。如對于原子核外電子的運動的描述，隻能用電子雲中的疏密區域來描述電子在這些區域出現的可能性大小，區域越密集，說明電子出現的機會越多。可見，這種運動規律已不符合牛頓力學定律。

而對于與我們的經驗和直覺相符的經典物理學，如經典力學規律适用于宏觀低速(遠小于真空中的光速)物體，而高速運動時，适用于與我們的日常生活經驗和常識相悖的相對論。它們都是決定論在起作用，具有确定性，如經典力學裡，可以同時确定并預測物體現在、過去和未來的位置和動量、加速度、角動量、能量等物理量，又如，運用牛頓力學可準确運算并預測出一些天體的運動軌迹和相關數據，如可用牛頓力學成功描述和預測太陽系内除水星以外的所有行星、衛星的運動軌迹。

因此，從物質世界的角度來看，由于宏觀物體都由數目龐大的微觀粒子構成。雖然每個粒子的運動規律服從量子力學規律(如亞原子粒子)，但大量粒子(如物質保持其化學性質的相對單元分子) 的集合的宏觀運動規律又遵從統計力學規律，且大量粒子通過凝聚或凝聚趨勢結合成宏觀物體時，由于粒子之間因引力、斥力等作用相互束縛和影響，導緻宏觀物體的機械運動不确定性(随機性)不明顯，基本上可以忽略不計，如宏觀物體在任一時刻具有确定的位置和速度，具有确定的狀态和溫度。這就好比力學和機械常識裡的已安好相對于地面固定不動的機器底座或機架，這時它們完全被膨脹螺絲、地腳螺栓等零件束縛，其自由度為0，但沒有安裝時，其在空間可以有6個自由度，即決定這些零件的運動狀态或空間位置所需要的獨立坐标數，它表現為沿笛卡爾直角坐标系中三個坐标軸方向移動和繞着它們轉動的自由度 。

以上兩類随機現象例子，恰恰反映了哲學常識裡的一則真理：偶然性與必然性相互依存，缺一不可，偶然性是必然性的表現和補充，偶然性的背後隐藏着必然性，必然性必須通過大量的偶然性表現出來。例如，在同一個領域或行業，對于任何有正确理想信念和努力奮鬥方法的人，最後必然會取得成就，但對于不同的人，其取得成就的時間往往是不相同的，有的早一些，有的晚一些，在時間上具有一定的随機性 ，即他們最終必然會取得成就，但在時間上是有一定變數的。

綜上舉例和論證，恰好反映了一般系統論常識裡所說的系統即由相互作用和相互依賴、相互制約的若幹組成部分(即要素或元素，它可以是子系統)而産生的有目的的聯系，從而結合成具有特定層次、組織和功能的有機整體，且系統的功能大于其組成部分之和，即通過大量組成元素的有機聯系，使其在整體上發生了功能性質變。如上述例子中的所有模糊集中的那些公共元素，盡管在各模糊集裡存在不确定度，然而在總體上質變為确定元素；又如，上述例子中的任何一個宏觀物體的組成粒子 (常見的原子和分子)的運動具有不确定性 ，但它們構成宏觀物體後，就質變為可用經典物理學(如牛頓力學)正确描述的确定性宏觀物理量，如位置、速度、動量。

由此可見，事物的确定性是系統化的、質變的不确定性，它包容了事物的大量随機和模糊屬性。

——科學技術類随筆淺論集之數學科學(2)

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