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自然數的四次方是什麼

生活更新时间:2025-08-26 18:29:50

自然數的任意次幂之和是一個非常有趣的問題，但也是數學的難點，麥克勞林和歐拉對此進行了系統的研究，最終得到了數值分析中著名的麥克勞林-歐拉公式，因麥克勞林-歐拉公式過于深奧，本篇我們不讨論，僅從一般情況下得到任意次方之和是如何得到的

如連續自然數的4次方之和，它不像一次方，二次方，三次方那樣比較容易得到，4次方計算起來是比較困難的，

我們從一次方，二次方，三次方公式的規律，可以得到自然數的4次方之和公式的前兩項，但剩餘項卻是個未知數

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）1

我們将已有的自然數幂之和用S1,S2,S3,...代替

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）2

你會發現S3=(s1)^2

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）3

為了得到自然數的4次方之和，我們必須引入牛頓二項式定理，

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）4

将加号變為負号時，就有

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）5

我們重點關注(x-1)^5，當X=1

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）6

所以就得到如下的結論

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）7

将等号右邊的式子化簡得到

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）8

将前4個多項式相加：等号右邊就得到

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）9

根據上述規律，n個多項式相加時，就得到n^5

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）10

上述，等号左邊的相加，就得到如下結果

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）11

我們将S1,S2,S3,的公式帶入，

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）12

就得到連續自然數的4次方之和：S4的結論

自然數的四次方是什麼（我們用一般方法得到）13

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