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兩點之間線段最短的對稱點

生活更新时间:2025-03-09 23:26:01

數學教育，一直以來都是我們最不想面對，也不想去學的，原因很簡單，在教育這一塊，當屬數學最難。哪怕是那些最簡單的理論，在數學中都是常識的那些，其實我們也不知道它的原理，我們能做的就是跟着用就好了，那麼，在我們都認為的數學中兩點之間線段最短的結論，這裡面都是有很大學問的。

兩點之間線段最短的對稱點（如何理解關于兩點之間線段最短的佯謬）1

就如同這個圖，我們從A點到B點，走矩形的邊線或走階梯形的線路，所用的路程是一樣的，因為可以看出紅色的路線和藍色的路線是相等的。

兩點之間線段最短的對稱點（如何理解關于兩點之間線段最短的佯謬）2

但是當階梯狀無限小的時候，會無限接近于一條直線，就如圖三。

兩點之間線段最短的對稱點（如何理解關于兩點之間線段最短的佯謬）3

假設圖1是個正方形，如果設正方形的邊長為x的話，那麼√2x,兩者的差為（2－√2）x，約等于0.586x，也就是說如果正方形邊長為1000米的話，兩者就相差586米，這是不是很反直覺？如果圖3中階梯形路徑的紅線和藍線的長度是無限小，那麼圖3的圖形面積是多少？等于圖4三角形的面積嗎？如果等于的話，可不可以說兩點之間的直線距離和圖1、圖2的行走方式的距離相等？如果不等于的話，那麼圖3中圖形的面積是多少？

兩點之間線段最短的對稱點（如何理解關于兩點之間線段最短的佯謬）4

這個問題很經典，可以這樣理解：無窮小量的積累不在是無窮小量。這個問題我們可以用極限求和來算一算，當然這樣的過程就相對來說太繁瑣，其實它的訣竅就在于光滑性。簡單的來說，階梯每次細分雖然總長度不變，但是放大到一定程度來看就知道不是光滑的，而是連接階梯上下的線段卻是光滑的，這是理論上的當階梯無限小時，它并不趨于直線段。

兩點之間線段最短的對稱點（如何理解關于兩點之間線段最短的佯謬）5

更為簡單的角度：如果是用弧長公式計算線段AB的長度，不能用圖2中的折線做逼近。用來逼近曲線的每段折線段的端點都必須在曲線上。下圖中藍色的折線段可以用來計算AB的弧長，而紅色的不可以。把AB“拉直”成為線段，Ak－1，Ak,Ak 1都在線段AB上，而Pk，Pk 1如同題目中的折線段一樣，并不能用來計算線段AB的長度。

兩點之間線段最短的對稱點（如何理解關于兩點之間線段最短的佯謬）6

不管怎樣，數學就是這樣，敢于猜想質疑，你隻有在這樣的過程中才會有更大的進步，對這種佯謬進行正解的梳理是準确理解概念的一種非常有效的手段。隻要你接觸教育，接觸數學，你隻有不斷敢于嘗試，不斷推理，你會有意想不到的收獲的。

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