第一章 證明（二）

一、公理

1、三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

2、兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。

3、兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）。

4、全等三角形的對應邊相等、對應角相等。

推論：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）。

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性質

（ 1 ）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）。

（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相 重合（三線合一）。

2、等腰三角形的其他性質

（1）等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°

（ 2 ）等腰三角形的底角隻能為銳角，不能為鈍角（或直角），但 頂角可為鈍角（或直角）。

等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C， ∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=

。

3、等腰三角形的判定

（ 1 ）如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相 等（簡稱：等角對等邊）。

（2）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

三、等邊三角形

1、性質：

（1）等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°。

（2）三線合一。

2、判定：

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。

（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

四、直角三角形

1、直角三角形的性質

（1）直角三角形的兩個銳角互餘

（2）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

（4）勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于 斜邊c的平方，即 a 2 b 2 =c 2 。

2、其它性質

（1）直角三角形斜邊上的高線将直角三角形分成的兩個三角形和原三角形相似。

（2）常用關系式：由三角形面積公式可得：兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積。

3、直角三角形的判定

（1）有一個角是直角的三角形是直角三角形。

（2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c有關系a2 b2=c2，那麼這個三角形是直角三角形。

4、直角三角形全等的判定

對于特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。

五、角的平分線及其性質與判定

1、角的平分線：

從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

2、角的平分線的性質定理：

角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

定理：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。

3、角的平分線的判定定理：

在一個角的内部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

六、線段垂直平分線的性質與判定

1、線段的垂直平分線：

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

3、線段垂直平分線的性質定理：

線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。

定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

4、線段垂直平分線的判定定理：

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

七、反證法

八、互逆命題、互逆定理

1、在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分别是另一個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。

2、如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。

第二章 一元二次方程

一、一元二次方程

1、一元二次方程定義

含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一 元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

它的特征是：等式左邊是一個關于未知數x的 二次多項式，等式右邊是零，其中 ax 2 叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫 做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項。

二、一元二次方程的解法

1、直接開平方法

直接開平方法适用于解形如(x a)2=b的一元二次方程。當

時，

當b<0時，方程沒有實數根。

2、配方法

一般步驟：

（1）方程

兩邊同時除以a,将二次項系 數化為1.

（2）将所得方程的常數項移到方程的右邊。

（3） 所得方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方。

（4）

。

（5）

當b<0時，方程沒有實數根。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

。

4、因式分解法

一元二次方程的一邊另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法。

三、補充：一元二次方程根的判别式

1、定義：一元二次方程

b2-4ac叫做一元二次方程

的根的判别式。

2、性質：當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當b2-4ac＝0時，方程有兩個相等的實數根；當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根。

四、補充：一元二次方程根與系數的關系

如果方程

的兩個實數根是

那麼

第三章 證明（三）

一、平行四邊形

1、平行四邊形的定義

兩組對邊分别平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形的性質

（1）平行四邊形的對邊平行且相等。

（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等

（3）平行四邊形的對角線互相平分。

（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。

常用點：

（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。

（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

3、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對邊分别平行的四邊形是平行四邊形

（2）定理1：兩組對角分别相等的四邊形是平行四邊形

（3）定理2：兩組對邊分别相等的四邊形是平行四邊形

（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

4、平行四邊形的面積

S平行四邊形=底邊長×高=ah

二、矩形

1、矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

2、矩形的性質

（1）矩形的對邊平行且相等

（2）矩形的四個角都是直角

（3）矩形的對角線相等且互相平分

（ 4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線 的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是 對邊中點連線所在的直線。

3、矩形的判定

（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形

（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

4、矩形的面積

S矩形=長×寬=ab

三、菱形

1、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

2、菱形的性質

（1）菱形的四條邊相等，對邊平行

（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等

（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對 角

（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。

3、菱形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4、菱形的面積

S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半

四、正方形

1、正方形的定義

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形的性質

（1）正方形四條邊都相等，對邊平行

（2）正方形的四個角都是直角

（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角 線平分一組對角

（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。

3、正方形的判定

判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：

（1）先證它是矩形，再證它是菱形。

（2）先證它是菱形，再證它是矩形。

4、正方形的面積

設正方形邊長為a，對角線長為b

五、等腰梯形

1、等腰梯形的定義

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性質

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。

（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。

（3）等腰梯形的對角線相等。

（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它隻有一條對稱軸，即兩底的垂直 平分線。

3、等腰梯形的判定

（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接 用）

六、三角形中的中位線

1、三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

2、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

3、常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結論2：三條中位線将原三角形分割成四個全等的三角形。

結論3：三條中位線将原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

七、有關四邊形四邊中點問題的知識點

1、順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；

2、順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；

3、順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；

4、順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；

5、順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；

6、順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；

7、順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；

第四章 視圖與投影

一、投影

1、投影：物體在光線的照射下，在地面上或牆壁上留下它的影子，這就是投影現象。

2、平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。

3、中心投影：探照燈、手電筒、路燈和台燈的光線可以看成是從一點發出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。

二、視點、視線、盲區

第五章 反比例函數

一、反比例函數的概念

一般地如果兩個變量x，y之間的關系可以表示

的形式，那麼稱y是x的反比例函數。（反比例函數的解析式也可以寫成

的形式。自變量x的取值範圍是x

0的一切實數，函數的取值範圍也是一切非零實數。）

二、反比例函數的圖象

反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數中自變量x

0，函數y

0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐标軸，但永遠達不到坐标軸。

三、反比例函數的性質

反比例函數

k的符号

k>0

k<0

圖象

性質

①x的取值範圍是x

0，

y的取值範圍是y

0；

②當k>0時，函數圖象的兩個分支分别

在第一、三象限。在每個象限内，y

随x 的增大而減小。

①x的取值範圍是x

0，

y的取值範圍是y

0；

②當k<0時，函數圖象的兩個分支分别 在第二、四象限。在每個象限内， y 随 x 的增大而增大。

四、反比例函數解析式的确定

确定反比例函數解析式的方法仍是待定系數法。由于在反比例函數

中，隻有一個待定系數，因此隻需要一對對應值或圖像上的一個點的坐标，即可求出k的值，從而确定其解析式。

五、反比例函數中反比例系數的幾何意義

過反比例函數

圖像上任一點P（x,y）作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足分别是M、N，則所得的矩形PMON的面積

第六章 頻率與概率

一、概率的求法：

1、一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m個結果，那麼事件A發生的概率為

。

2、列表法

用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

3、樹狀圖法

通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。（當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率。）

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