1. 導數（導函數的簡稱）的定義：設x0是函數y=f(x)定義域的一點，如果自變量x在x0有增量∆x，則函數值y引起相應的增量∆y=f(x0 ∆x)-f(x0)；比值∆y/∆x=[f(x0 ∆x)-f(x0)]/∆x稱為函數y=f(x)在點x0到x0 ∆x之間的平均變化率；如果極限

存在，則稱函數y=f(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做y=f(x)在x0處的導數，記作f´(x0)或y´|x=x0，即f´(x0)=

.

注：①∆x是增量，我們也稱為“改變量”，因為∆x可正，可負，但不為零.

②以知函數y=f(x)定義域為A，y=f'(x)的定義域為B，則A與B關系為包含且等于.

2. 函數y=f(x)在點x0處連續與點x0處可導的關系：

⑴函數y=f(x)在點x0處連續是y=f(x)在點x0處可導的必要不充分條件.

可以證明，如果y=f(x)在點x0處可導，那麼y=f(x)點x0處連續.

事實上，令x=x0 ∆x,則x→x0相當于∆x→0.

于是

⑵如果y=f(x)點x0處連續，那麼y=f(x)在點x0處可導，是不成立的.

例：f(x)=|x|在點x0=0處連續，但在點x0=0處不可導，因為∆y/∆x=|∆x|/∆x，當∆x＞0時，∆y/∆x=1；當∆x＜0時，∆y/∆x=-1，故

不存在.

注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.

②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.

3. 導數的幾何意義：

函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線y=f(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f'(x0)，切線方程為y-y0=f'(x)(x-x0).

4. 求導數的四則運算法則：

(u±v)'=u'±v'=>y=f₁(x) f₂(x) ... fn(x)=>y'=f'₁(x) f'₂(x) ... f'n(x)

(uv)'=vu' v'u=>(cv)'=c'v cv'=cv'(c為常數）

(u/v)'=(vu'-v'u)/v²(v≠0)

注：①u,v須是可導函數.

②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.

例如：設f(x)=2sinx 2/x，g(x)=cosx-2/x，則f(x),g(x)在x=0處均不可導，但它們和f(x) g(x)=sinx cosx在x=0處均可導.

5. 複合函數的求導法則：f'x(φ(x))=f'(u)φ'(x)或y'x=y'u·u'x

複合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.

6. 函數單調性：

⑴函數單調性的判定方法：設函數y=f(x)在某個區間内可導，如果f'(x)＞0，則y=f(x)為增函數；如果f'(x)＜0，則y=f(x)為減函數.

⑵常數的判定方法；

如果函數y=f(x)在區間I内恒有f'(x)=0，則y=f(x)為常數.

注：①f(x)>0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y=2x³在(-∞, ∞)上并不是都有f(x)>0，有一個點例外即x=0時f（x） = 0，同樣f(x)<0是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區間内有限個點處為零，在其餘各點均為正（或負），那麼f（x）在該區間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.

7. 極值的判别方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的極大值，極小值同理）

當函數f(x)在點x0處連續時，

①如果在x0附近的左側f'(x)＞0，右側f'(x)＜0，那麼f(x0)是極大值；

②如果在x0附近的左側f'(x)＜0，右側f'(x)＞0，那麼f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數異号，而不是f'(x)=0①. 此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點②. 當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不确定的，即有可能極大值比極小值小（函數在某一點附近的點不同）.

注①： 若點x0是可導函數f(x)極值點，則f'(x)=0. 但反過來不一定成立. 對于可導函數，其一點x0是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.

例如：函數y=f(x)=x³，x=0使f'(x)=0，但x=0不是極值點.

②例如：函數y=f(x)=|x|，在點x=0不可導，但點x=0是函數的極小值點.

8. 極值與最值的區别：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區間上對函數值進行比較.

注：函數的極值點一定有意義.

9. 幾種常見的函數導數：

I.C'=0（C為常數） (sinx)'=cosx (arcsinx)'=1/√(1-x²)

(xⁿ)'=nx(n-1)次方（n∈R） (cosx)'=-sinx (arccosx)'=-1/√(1-x²)

II. (ln x)'=1/x (log a x)'=1/xlogae (arctanx)'=1/(x² 1)

（e的x次方)'= e的x次方 (a的x次方)'=a的x次方lna (arc cotx)'=-1/(x² 1)

III. 求導的常見方法：

①常用結論：(ln|x|)'=1/x.

②形如y=(x-a₁)(x-a₂)...(x-an)或y=(x-a₁)(x-a₂)...(x-an)/(x-b₁)(x-b₂)...(x-bn)兩邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.

③無理函數或形如y=x的x次方這類函數，如y=x的x次方取自然對數之後可變形為y=lnx，對兩邊求導可得y/y=lnx x*1/x=>y'=ylnx y=>y'=x的x次方lnx x的x次方.

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