人教版七年級數學下冊知識點

第五章 相交線與平行線

一、知識要點

1、在同一平面内，不重合的兩條直線的位置關系有 兩 種： 相交 和 平行 ，

垂直 是相交的一種特殊情況。

2、在同一平面内，不相交的兩條直線叫 平行線 。如果兩條直線隻有 一個 公

共點，稱這兩條直線相交；如果兩條直線 沒有 公共點，稱這兩條直線平行。

3、兩條直線相交所構成的四個角中，有 公共頂點 且有 一條公共邊 的兩個角

是

鄰補角。鄰補角的性質： 鄰補角互補 。

4、兩條直線相交所構成的四個角中，一個角的兩邊分别是另一個角的兩邊的 反

向延長線 ，這樣的兩個角互為 對頂角 。對頂角的性質：對頂角相等。如圖 1

所示，∠1與∠3互為對頂角。∠1=∠3；∠2與∠4互為對頂角，∠2=∠4

5、兩條直線相交所成的角中，如果有一個是 直角或 90°時，稱這兩條直線互

相垂直，

其中一條叫做另一條的垂線。如圖 2所示，當 ∠1 = 90°時， a⊥ b。

垂線的性質：性質 1：過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直。

性質 2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：

垂線段最短。

性質 3：如圖 2所示，當 a ⊥ b 時，∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 90°。

點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫點到直線的距離。

6、同位角、内錯角、同旁内角基本特征：

①在兩條直線(被截線)的 同一方 ，都在第三條直線(截線)的 同一側 ，這樣的

兩個角叫 同位角 。同位角呈"F"

②在兩條直線(被截線) 之間 ，并且在第三條直線(截線)的 兩側 ，這樣的兩個

角叫 内錯角 。内錯角呈"Z"

③在兩條直線(被截線)的 之間 ，都在第三條直線(截線)的 同一旁 ，這樣的兩

個角叫 同旁内角 。同旁内角呈"U"

7、平行公理：經過直線外一點有且隻有一條直線與已知直線平行。

圖 1

13 42

圖 2

13 42

ab

圖 3

a 57 86

13 42

b

c

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平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相

平行。

平行線的性質：性質 1：兩直線平行，同位角相等。例如：∵a∥b ∴∠2=∠6

性質 2：兩直線平行，内錯角相等。如圖 4所示，∵a∥b，∴∠1=∠7

性質 3：兩直線平行，同旁内角互補。如圖 4所示，∵a∥b，∴∠1 ∠6=180°

性質 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果 a∥b，a∥c，則 b ∥

c 。

8、平行線的判定： 判定 1：同位角相等，兩直線平行。如圖 5所示，如果 =

或 = 或 = 或 = ，則 a∥b。

判定 2：内錯角相等，兩直線平行。如圖 5所示，如果 =

或 = ，則 a∥b 。

判定 3：同旁内角互補，兩直線平行。如圖 5所示，如果 = 180°；

= 180°，則 a∥b。

9.平行線的性質與平行線的判定有什麼區别？判定：已知角的關系得平行的關

系。（證平行，用判定。） 性質：已知平行的關系得角的關系。（知平行，用性質。）

10、判斷一件事情的語句叫命題。命題由 題設 和 結論 兩部分組成，有 真命

題 和 假命題 之分。如果題設成立，那麼結論 一定 成立，這樣的命題叫 真命

題 ；如果題設成立，那麼結論 不一定 成立，這樣的命題叫假命題。真命題的

正确性是經過推理證實的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續推理的依據。

11、平移：在平面内，将一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動

叫做平移變換，簡稱平移。

平移後，新圖形與原圖形的 形狀 和 大小 完全相同。平移後得到的新圖形中每

一點，都是由原圖形中的某一點移動後得到的，這樣的兩個點叫做對應點。平移

性質：平移前後兩個圖形中①對應點的連線平行且相等；②對應線段相等；③

對應角相等。

第六章 實數

1.算術平方根：般地，如果一個正數 x的平方等于 a，即 2x =a，那麼這個正數 x

圖 4

a 57 86

13 42

b

c

圖 5

a 57 86

13 42

b

c

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叫做 a 的算術平方根．a 的算術平方根記為 a ，讀作"根号 a"，a 叫做被開方

數．如：25 的算術平方根是 5，記做 525  ，規定：0 的算術平方根是 0,求帶

分數的算術平方根，需要先把帶分數化成假分數.

2. 被開方數越大，其相應的算術平方根也越大。

.414.12  732.13  . 5 2.236 .

3.平方根：①如果一個數的平方等于 a，那麼這個數就叫做 a的平方根．即：如

果 2x =a，那麼 x叫做 a的平方根．求一個數的平方根的運算，叫做開平方．平

方與開平方互為逆運算。a(a≥0)的平方根記作 a ，例如 9 3  

②性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是 0；負數沒有

平方根．

③平方根和算術平方根兩者既有區别又有聯系．區别在于正數的平方根有兩個，

而它的算術平方根隻有一個；聯系在于正數的負平方根是它的算術平方根的相反

數，根據它的算術平方根可以立即寫出它的負平方根。

4.立方根：如果3x =a，那麼 x叫做 a的立方根．記為 3x a ，例如： 3 8 2 ，

3 27 3  

①性質：正數的立方根是正數；負數的立方根是負數；零的立方根是零．②一般

地，33 aa 

5 算術平方根等于本身的數有 0，1.平方根是它本身的數是 0，立方根是它本身

的數是 0，1，-1.

6.被開方數擴大或縮小 100 倍時，它的算術平方根擴大或縮小 10 倍;被開方數擴

大或縮小 1000 倍時，它的立方根擴大或縮小 10 倍。

二、實數及其分類：

1、實數的概念：有理數和無理數統稱為實數。

2、實數的分類：

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







數）無理數（無限不循環小

小數）（有限小數或無限循環分數

整數有理數















負無理數

負有理數負實數

零

負無理數

正有理數正實數

3、任何一個實數都可以在數軸上表示，數軸上的任何一個點都是一個實數。實

數與數軸上的點一一對應。

三、實數的運算：

1.實數的相反數：數 a的相反數是 a 。

2.一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對

值是 0.

第七章 平面直角坐标系

1、有序數對：有順序的兩個數 a與 b組成的數對叫做有序數對，記做（a,b） 。

2、平面直角坐标系：在平面内，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直

角坐标系。水平的數軸稱為 x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱

為 y軸或縱軸，取向上為正方向；兩坐标軸的交點為平面直角坐标系的原點。

3、坐标：對于平面内任一點 P，過 P 分别向 x 軸，y 軸作垂線，垂足分别在 x

軸，y軸上，對應的數 a,b 分别叫點 P的橫坐标和縱坐标，記作 P(a，b)。

4.x 軸上的點的縱坐标為 0，表示為（x，0）；y 軸上的點的橫坐标為 0，表示為

（0，y）。原點的坐标是（0，0）；

5、象限：兩條坐标軸把平面分成四個部分，右上部分叫第一象限，按逆時針方

向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标軸上的點不在任何一個象限内。

6. 幾個象限内點的特點：第一象限（ ， ）；第二象限（—， ）；第三象限（—，

—）；第四象限（ ，—）。

7、點到兩軸的距離：點 P(x,y)到 x 軸的距離是︱y︳； 點 P(x,y)到 y 軸的距

離是︱x︳。

8、對稱點的坐标特點①關于 x 軸對稱的兩個點，橫坐标 相等，縱坐标 互為相

反數；②關于 y 軸對稱的兩個點，縱坐标相等，橫坐标互為相反數；③關于原點

對稱的兩個點，橫坐标、縱坐标分别互為相反數。

實數實數

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9、過這兩點的直線與 y 軸平行，兩個點的 橫坐标 相同；過這兩點的直線與 x

軸平行，兩點的 縱坐标相同。

10、在一、三象限角平分線上的點的橫坐标與縱坐标相同；在二、四象限角平分

線上的點的橫坐标與縱坐标互為相反數。如果點 P(a，b) 在一、三象限角平分線

上，則 P 點的橫坐标與縱坐标相同，即 a = b ；如果點 P(a，b) 在二、四象限角

平分線上，則 P點的橫坐标與縱坐标互為相反數，即 a = －b 。

11、表示一個點(或物體)的位置的方法：一是準确恰當地建立平面直角坐标系；

二是正确寫出物體或某地所在的點的坐标。選擇的坐标原點不同，建立的平面直

角坐标系也不同，得到的同一個點的坐标也不同。此外，還可以用方位角和距離

表示點的位置。

12、坐标平移規律：①把點向左平移時，橫坐标減，向右平移時，橫坐标加，縱

坐标不變②把點向上平移時，縱坐标加，向下平移時，縱坐标減，橫坐标不變。

如将點 P(2，3)向左平移 2 個單位後得到的點的橫坐标 2-2=0，縱坐标不變，坐标

為（0,3）；将點 P(2，3)向右平移 2 個單位後得到的點的橫坐标為 2 2=4，坐标為

( ,4 ， 3 )；将點 P(2，3)向上平移 2 個單位後得到的點的縱坐标為 3 2=5，

橫坐标不變( 2 ， 5 )；将點 P(2，3)向下平移 2 個單位後得到的點的縱坐

标為 3-2=1坐标為( 2 ， 1 )。先向左（右）平移，再向上（下）平移時，

橫縱坐标都要變化。

第八章 二元一次方程組

1、含有未知數的等式叫方程，使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫方程的

解。

2、方程含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是 1，這樣的方程叫二

元一次方程，使二元一次方程的左右兩邊的值相等的未知數的值叫二元一次方程

的解，一個二元一次方程一般有無數組解。

3、方程組含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是 1，這樣的方程組

叫二元一次方程組。使二元一次方程組每個方程的左右兩邊的值相等的未知數的

值叫二元一次方程組的解，

4、解二元一次方程組:基本思路： "消元"——把"二元"變為"一元"，方法

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是代入法和加減法。

代入法解二元一次方程組的一般步驟：觀察方程組中，是否有用含一個未知數的

式子表示另一個未知數，如果有，則将它直接代入另一個方程中；如果沒有，則

将其中一個方程變形，用含一個未知數的式子表示另一個未知數；再代入另一個

方程中，從而消去一個未知數，得到一個一元一次方程。用加減法解二元一次方

程組的一般步驟：（1）方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數既不相等

又不互為相反數，就用适當的數去乘方程的兩邊，使同一個未知數的系數相等或

互為相反數；（2）把兩個方程的兩邊分别相加或相減，消去一個未知數。

第九章 不等式與不等式組

1、用不等号表示不等關系的式子叫不等式，不等号主要包括：＞ 、＜ 、≥ 、

≤ 、 ≠ 。"≥"表示不小于，不少于，不低于等，"≤"表示不大于，不超過，

不高于。

2、在含有未知數的不等式中，使不等式成立的未知數的值叫不等式的解，一個

含有未知數的不等式的所有的解組成的集合，叫這個不等式的解集。不等式的解

集可以在數軸上表示出來。"＞"朝右邊畫，"＜"朝左邊畫，有"="畫實心點，

沒有含"="畫空心點。求不等式的解集的過程叫解不等式。

3.含有一個未知數，并且所含未知數的項的次數都是 1，這樣的不等式叫一元一

次不等式。

4、不等式的性質：①性質 1：不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(或式子)，

不等号的方向 不變 。

用字母表示為： 如果 ba  ，那麼 cbca  ； 如果 ba  ，那麼 cbca  ；

②性質 2：不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個 正數 ，不等号的方向 不

變 。

用字母表示為： 如果 0,  cba ，那麼 bcac  (或cb

ca )；如果 0,  cba ，那麼

bcac  (或cb

ca )；；

③性質 3：不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個 負數 ，不等号的方向 改

變 。

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用字母表示為： 如果 0,  cba ，那麼 bcac  (或cb

ca )；如果 0,  cba ，那麼

bcac  (或cb

ca )；

5、解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括号；③移項；④合并同類

項； ⑤系數化為 1 。

6、不等式組中含有一個未知數，并且所含未知數的項的次數都是 1，這樣的不

等式組叫一元一次不等式組。使不等式組中的每個不等式都成立的未知數的值叫

不等式組的解，一個不等式組的所有的解組成的集合，叫這個不等式組的解集解

(簡稱不等式組的解)。不等式組的解集可以在數軸上表示出來。求不等式組的解

集的過程叫解不等式組。

7、解一元一次不等式組的一般步驟：①求出這個不等式組中各個不等式的解集；

②利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，得到這個不等式組的解集。如果

這些不等式的解集的沒有公共部分，則這個不等式組無解 ( 此時也稱這個不等

式組的解集為空集 )。

8、求出各個不等式的解集後，确定不等式組的解的口訣：同大取大，同小取小，

大小小大取中間，大大小小無處找。

第十章 數據的收集、整理與描述

1、對數據進行處理的一般過程：收集數據、整理數據、描述數據、分析得出結

論。

2、數據收集過程中，調查的方法通常有兩種：全面調查和抽樣調查。

3、除了文字叙述、列表、劃記法外，還可以用條形圖、折線圖、扇形圖、直方

圖來描述數據。

4、抽樣調查簡稱抽查，它隻抽取一部分對象進行調查，根據調查數據推斷全體

對象的情況。要考察的全體對象叫總體，組成總體的每一個考察對象叫個體，被

抽取的那部分個體組成總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫這個樣本的容量 。

5、畫頻數直方圖的步驟：①計算數差(最大值與最小值的差)；②确定組距和組

數；③列頻數分布表；④畫頻數直方圖 。

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