近日,在抖音平台上,某位女留學生“亞洲人數學能力其實很差”的觀點引起了廣泛争議。她在視頻中提到:
就是這個出國留學以後啊,我發現一個我誤解多年的事情,亞洲人的數學其實很差,雖然很多人都在吐槽外國人的計算能力。
舉個例子,根号二等于多少?脫口而出1.414,π約等于3.14,但是你有思考過這個是怎麼推導出來的麼?
我們隻是知道用公式解題,卻不知道為什麼能用這個公式。
這也是為什麼我高考數學140,但是我真的一點也不了解數學,知其然不知所以然,我隻是擅長解題,但從不追究真理。
雖然這位同學的觀點有失偏頗,但她至少提出了一個有價值的問題:“根号二等于1.414是怎麼推導出來的”。
今天我們就來聊聊這個問題,與各位讀者分享根号二的前世今生。
在中文互聯網上,根号二常與“第一次數學危機”聯系在一起。一種流行的說法是,畢達哥拉斯學派下的成員希帕索斯,偶然間根據老師的“畢達哥拉斯定理”(即勾股定理),發現邊長為1的正方形對角線長度(即根号2)無法用有理數表示。
這一發現違背了畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的教義,因此希帕索斯被同門丢進海裡。但畢達哥拉斯學派無法掩蓋根号2的存在,從而“萬物皆數”的數學大廈轟然倒塌,引發了“第一次數學危機”。
此故事是否是曆史的真相已無從考證。不過,可以确定的是,希帕索斯并非第一個發現根号2的人。
在希帕索斯之前的一千多年,約公元前1800年至1600年間,古巴比倫人就發現了根号2。
在編号為YBC 7289的古巴比倫陶泥闆上,畫着一個正方形和它的兩條對角線。對角線長度用一串數字1,24,51,10标注。由于古巴比倫采用六十進制,這串數字可以譯作以下公式:
換句話說,古巴比倫人知道邊長為1的正方形,其對角線長度大約是1.41421,計算精确到了小數點後5位。
古巴比倫人的發現距今約3700年,了不起的成就。
據數學家推斷,古巴比倫人可能用的是下述算法(因而被稱為“巴比倫法”)算出根号二的近似值。
令
; 接下來,使用以下遞推公式計算:
:
比如:
那麼,a₁,a₂,a₃,a₄的數值依次是:
可以看到,a₄的數值已經精确到小數點後11位,與根号2的精确值非常接近,而我們僅僅做了四次疊代計算而已。
使用巴比倫方法,Ron Watkins在2016年将根号2的數值計算到小數點後十萬億(10^13)位。
小學課本上介紹根号二的時候,其實也解釋了
的原因:
對于小學生來說,這樣的理解已經足夠深刻。不過,如果采用這種方法,猜出1.4、1.41、1.414還算容易,而接下來要計算1.4142, 1.41421, 1.414213, …… 則頗費功夫,效率遠不如巴比倫法。
巴比倫法看上去非常有效,不過善于思考的讀者朋友們或許已經開始犯嘀咕,“憑什麼這樣算出來的就是根号2呢?”
問得好。要回答這個問題,需要用到相當深刻的數學原理。以下我們長話短說,盡量用人話來解釋。
巴比倫法的遞推公式是
;倘若我們令
并代入,那麼
化簡得
毫無疑問
的一個解。
我們得到了
,而這不是一個巧合。事實上,
是遞推式
的一個不動點。
換句話說,如果
, 那麼
,保持“原地不動”,故名為“不動點”。
根據巴拿赫不動點定理,由于此遞推公式在
區間内為一壓縮映射,數列{a_n}将收斂于該區間内的不動點
。這就是巴比倫法能不斷逼近根号2精确值的原因。
(注:篇幅所限,省略巴拿赫不動點定理的具體描述、壓縮映射的定義、遞推公式為壓縮映射的推導過程)。
巴比倫法其實是牛頓法的一個特例。在實際求解形如f(x)=0的方程的過程中,我們并不總有簡單的方法直接求出x的精确數值,而需要近似地求x的數值解。
牛頓法就是最常用求數值解的方法之一,其遞推公式如下:
其中,
表示函數f在x_n處的導數。
牛頓法的本質是不斷求函數f(x)在x_n處的切線與x軸的交點,以達到逼近正解的目的。下面這張動圖形象地解釋了牛頓法的原理。
對于求解根号2這個特例,其實我們求的是
這個方程的正數解。那麼我們可以記
代入牛頓法的一般遞推公式,可得
這還原了巴比倫法的遞推公式。
雖然小學生都知道根号2約等于1.414,但推導過程其實已經超出了中學數學的範圍——不僅是中國中學數學課本,也包括全世界的數學課本。
無論是牛頓法還是巴拿赫不動點定理,都隻有在大學的數學課中才會涉及到。因此,中國學生不了解根号2的推導原理,而英國學生、美國學生、法國學生也不了解。這是一件非常正常的事,并不能說明“亞洲人的數學能力其實很差”。
本文的目的,則是讓更多的讀者了解,
究竟是怎麼來的。希望各位讀者閱讀本文後有所收獲。
,更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!