高中數學立體幾何圖形的外接球問題通常可以歸結為兩類圖形，一類是圓柱模型；一類是圓錐模型。

圖1

如果一個幾何體内接一個圓柱，那麼就可以使用圓柱模型。

今天我們先說說哪些圖形可以使用圓柱模型：

一個底面半徑為r，高為h的圓柱，則它的外接球半徑為：

圖2

1、推導過程

如果我們對圓柱上下底面對應位置處，取相同數量的點，比如都取三個點，如圖所示：

圖3

由此可得直三棱柱的外接球其實就是這個圓柱的外接球，所以說直三棱柱的外接球求半徑符合圓柱模型（不是所有超過四的直棱柱都有外接球）.在這裡棱柱的高就是公式中的h，而棱柱底面外接圓的半徑則是公式中的r.

斜棱柱沒有外接球.

2、正三棱柱、正四棱柱或正六棱柱的結論

如果在圓柱上下底面對應位置處，取間隔相等的三個點，那麼這個棱柱是正三棱柱；取間隔相等的四個點，那麼這個棱柱是正四棱柱；取間隔相等的六個點，那麼這個棱柱是正六棱柱。正棱柱都有外接球。

這裡給出正三棱柱、正四棱柱或正六棱柱的結論：

圖4

圖5

3、長方體與兩類牆角三棱錐的結論

如果在圓柱上下底面對應位置處，取的四個點構成長方形，那麼這個棱柱是長方體。

圖6

基于長方體，可以發現兩類特殊的三棱錐，我們稱之為“牆角三棱錐”，這兩類三棱錐的外接球半徑等于相關長方體外接球的半徑.如圖，三棱錐P-ABC：

圖7

圖8

4、正方體與球内接正四面體的結論

如果3中的長方體的長寬高都相等，可以得到正方體的結論.

圖9

基于正方體，可以得到正四面體的結論.

圖10

1、一根側棱⊥底面的椎體

如果把圖3中的三棱柱上面的B1C1去掉，我們會得到一個三棱錐，如圖：

圖11

這個三棱錐的特點是AA1⊥底面ABC，符合第一類牆角三棱錐：豎直棱AA1就是公式中的h，底面ABC的外接圓半徑就是公式中的r.

2、一個側面⊥矩形底面的四棱錐

如果圖3中的三棱柱ABC-A1B1C1隻去掉C1這個點，會得到什麼呢？

圖12

這就是将一個四棱錐放倒了！它的特點是：底面 ABC⊥側面AA1B1B，出題的時候則不會這麼仁慈，就會像上一幅圖那樣，有一個側面⊥矩形底面的四棱錐！

圖13

本文參考：

解題套路很深的梁老師：「高考數學~外接球套路「全」」

高考沖刺技巧の模法筆記：秒殺外接球 圓錐外接球模型

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