劉薰宇(1896～1967)是現代數學家、數學教育家。建國後擔任人民教育出版社副總編輯，負責審定我國中小學數學教材，并親自參與編寫。他也是很有名的科普作家，代表作有《馬先生談算學》《原來數學這樣有趣》《數學的園地》等。

他在《原來數學這樣有趣》書中談到了三角形三邊關系定理。他是這樣說的：

在幾何上有三個定理平列着：

(一)直角三角形，斜邊的平方等于它兩邊的平方的和。

(二)鈍角三角形，對鈍角的一邊的平方等于它兩邊的平方的和，加上，這兩邊中的一邊和另一邊在它的上面的射影的乘積的兩倍。

(三)銳角三角形，對銳角的一邊的平方等于它兩邊的平方的和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在它的上面的射影的乘積的兩倍。

單隻這樣說，也許不清楚，我們再用圖和算式來表明它們。

圖一

《原來數學這樣有趣》書摘1

圖二

《原來數學這樣有趣》書摘2

到了這一步，畢達哥拉斯的定理算是很普遍、很單純了。記起來便當，用起來簡單，依據它要往前進展自然容易得多。

科普作家劉薰宇當年寫作本書的時間大概是1933年。現在的數學書和以前相比有了很大的變化。

數學世界的規定1

數學世界的規定2

現在的數學書是這樣寫的：

【三角形三邊關系定理】三角形兩邊之和大于第三邊。

【三角形三邊關系定理的推論】三角形兩邊的差小于第三邊。

而劉薰宇書中的三角形三邊關系定理，其實就是餘弦定理。雖然書中的三個定理雖然沒有出現餘弦，但其實它等價于餘弦定理。

請看基本圖：

圖片

基本圖

基本圖揭示了勾股定理和餘弦定理的幾何意義。

基本圖(1)告訴我們，因為直角三角形q(射影)=0，所以勾股定理是餘弦定理的特例，隻有兩項，沒有第三項，即大正方形(c²)=中正方形(a²) 小正方形(b²)。

基本圖(2)告訴我們，因為鈍角三角形q(射影)>0為正，所以第三項為正，即大正方形(c²)=中正方形(a²) 小正方形(b²) 兩個長方形(2aq)。

基本圖(3)告訴我們，因為銳角三角形q(射影)<0為負，所以第三項為負，即正方形(c²)=正方形(a²) 正方形(b²)－兩個長方形(2aq)。

圖中沒有涉及角和餘弦，相當于餘弦定理的小學版或者是普及版。中學生要到高中才接觸餘弦定理。令人驚訝的是，古希臘的《幾何原本》不但有勾股定理，還證明了餘弦定理的幾何形式。當然，代數學的發展經曆了三個階段，古希臘數學家雖然分類讨論，證明了餘弦定理，但是因為時代的局限不可能在書中給出現代數學教科書中的公式。

基本圖的相關計算

在基本圖(2)鈍角三角形中，

a=CB=2.5

b=AC=3.35410197

c=AB=5

q=1.5

c²=a² b² 2aq

=11.2500000251 6.25 7.5

=25.0000000251

在基本圖(3)銳角三角形中，

a=CB=3.8

b=AC=3.5

c=AB=2.5

h=AD=2.23980608

q=CD=2.68947369

c²=a² b² 2aq

=14.44 12.25－20.440000044

=6.249999956

為什麼說基本圖等價于餘弦定理呢？我們先從餘弦說起。

在直角三角形中，銳角的餘弦的定義是鄰邊比斜邊。

餘弦一詞，餘指餘角，弦指正弦，意思是餘角的正弦。

在直角三角形中，C是直角，A和B都是銳角，并且互為餘角。所以有：

cos A=sin (90°－A)=sin B

歐拉把三角函數的定義從銳角拓展到任意角，從第一象限擴張到四個象限。我們來看看餘弦函數在單位圓上的定義。

在笛卡爾平面直角坐标系中，角φ一條邊在x軸，角的頂點在原點o，另一條邊稱為動臂可以正向旋轉(逆時針)跑遍四個象限。

設動臂與單位圓在四個象限的交點依次為B₁，B₂，B₃，B₄，那麼任意角的餘弦定義為：

cos φ=橫坐标：半徑

橫坐标是交點B的橫坐标，在不同的象限裡有不同的符号，但半徑永遠是正的。

所以，餘弦函數在一、四象限為正，二三象限為負。

現在說說餘弦定理。

【餘弦定理】在平面三角形中，一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和減去這兩條邊跟這兩邊夾角的餘弦之積的兩倍。

c²=a² b²－2ab cos C

當已知兩邊及其夾角時，用餘弦定理能計算出第三條邊，而當已知三條邊時，就可以求得任一角。

勾股定理

餘弦定理

基本圖是沒有餘弦的小學版餘弦定理，那麼高中版餘弦定理該怎麼畫圖呢？

隻需要修改第三項的圖形，把兩個長方形(2aq)改成兩個平行四邊形(2ab cos C)。平行四邊形的一組對邊是a，另一組對邊是b。當平行四邊形是直角時，就成為長方形，面積等于底(a)乘以高(b)，平行四邊形邊長不變時可以改變角度，在底不變的情況下，降低高度，壓縮面積。當這兩個平行四邊形的底是a，高是q的時候，面積=2aq=2ab cos C。這就是餘弦定理的幾何意義。

再看基本圖，在△ABC中，由cos C的定義可知，q=DC=b cos C，所以有

c²=a² b²－2aq

=a² b²－2ab cos C

C是銳角，第一象限cos C為正，上面的公式右邊第三項為負；

C是鈍角，第二象限cos C為負，上面的公式右邊第三項為正(負負得正)。

C為銳角⇔c²<a² b²

C為直角⇔c²=a² b²

C為鈍角⇔c²>a² b²

餘弦定理有3個公式，我們隻寫了一個，該怎麼得到全部公式呢？

用循環置換法。即三條邊循環置換，a用b代替，b用c代替，c用a代替；角同樣有A→B→C→A，就能夠得到全部三個公式。

在操作過程中，你感受到了餘弦定理對稱循環的形式美了嗎？

好有一比，就比如一個精美的圓瓷盤，有五個字對稱均勻排列成圓形：可以清心也，你說該怎麼讀？

①可以清心也。

②也可以清心。

③清心也可以。

就像餘弦定理的三條公式一樣，三種讀法都可以。

小結：餘弦定理是勾股定理的推廣，比後者更一般更普遍更深刻，但是它的發現與證明好像與國人無關，這點值得我們反思。

餘弦定理的推導

推導1

推導2

相關知識點和高考題目解答

①三角形面積公式；

②内切圓半徑；

③射影定理。

知識點和高考題目請看下圖：

1996全國高考題

2000北京春季高考題

餘弦定理的應用

餘弦定理是關于三角形邊角關系的重要定理，也是解三角形的常用方法之一。

①已知兩邊和夾角求另一邊

應用1

應用2

應用3

應用4

餘弦定理和勾股定理

用餘弦定理解決問題

已知三邊求角(餘弦定理的活用)

已知三邊求角

求角度

拓展閱讀：海倫公式

已知三邊求面積可以用海倫公式。求出面積後，就能夠求出三角形的三條高。

海倫公式等價于秦九韶公式。秦九韶是我國宋代數學家，著有《數書九章》。

海倫公式1

海倫和海倫公式

解三角形常用正弦定理和餘弦定理，還可以用正切公式和半角公式。

正切公式

半角公式

分類讨論

已知兩邊和夾角

例題

已知三條邊

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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