本期内容是對隐零點問題的題型和方法總結，隐零點問題連續更新了三期，足以看出這塊内容的重要性，但隐零點本身難度很小，隻是其中有些細節需要仔細推敲。

隐零點問題其實沒有必要作為單獨的題型，可以把該題型歸結于函數求最值的大專題上，無論導數中的哪種題型都需要通過導數确定函數的增減趨勢，通過極值點和最值點以及極限值具體确定出函數的形态，再求最值時按照方法的難易可分為三種方法，一是常規的一階求導，導函數零點可求；二是二階求導，判定一階導數的增減性和最值，再判定函數的增減性，這裡直接跳過了對導函數求零點的過程；三是隐零點法，通過二階導數判定一階導函數的增減性，設出導函數的零點，通過單調性求出函數對應的極值點。這三種方法互為補充，均為導數的基本功。

若單獨分析隐零點法，難點其實有兩點：

1.如何确定隐零點所在的區間，以及如何确認隐零點區間合不合适的問題。

關于這個問題，在上期已經給出解析了，隐零點範圍合适與否需要根據化簡之後極值的情況來确定，這次之前可通過整數點來初步判斷，若函數中出現了lnx相關的對數函數，也可使用e，1/e等來判定。

若化簡之後的極值是一個關于x0的函數h(x0)，此時函數一般較為簡單，或通過一次導數直接看出單調性，若在初步判定x0的整數區間使得函數h(x0)的值域範圍過大，即值域中存在整數，此時可判定x0的範圍選擇不當，需要重新确定。

至于重新确定x0範圍的方法，通常有三種，即常規的二分法，放縮取點法，或根據函數值的邊界反推出x0的範圍，在接下來的題目中會有體現。

2.如何用隐零點處的導數值為零對極值化簡的問題。

與第一個問題相比，這個問題就相對簡單了，化簡方法并沒有統一的标準，若原函數中同時存在指數和對數，一般利用隐零點處的一階導函數值為零消去其中一個，但有時候化簡之後的式子依舊複雜，此時就可能需要通過指對數同構法來化簡，典型的案例可以參考鍊接：考前訓練7.一道導數隐零點問題【special】，對于指對數同構，可自行搜索。

隐零點作為求最值的一種方法，可用于常規的不等式證明或不等式成立求參的題目中，在不等式證明中，可含參數也可不含參數，若不含參數時直接求導确定隐零點，根據化簡之後的最值形式和函數值的邊界0反推出對應的隐零點的範圍，若證明題中含參數，此時參數一般已經給出了範圍，例如1<a<2，可以通過隐零點在一階導函數處為零找出參數a和隐零點x0的等價關系，利用參數的範圍反求出零點的範圍。

在不等式求參中，根據參數的類型可分為求參數的整數最值和一般最值，整數最值即為最常見的類别，若求參數的一般最值，若采用分離參數法會導緻所求參數範圍過大，此時可采用整體處理法，根據函數的邊界求出x0的具體範圍，再根據參數a和隐零點x0的等價關系反求出參數的範圍，下面給出四道與隐零點有關的典型習題分析。

本題為不等式求參，參數并非整數，因為導函數中存在參數，确定導函數存在零點時直接帶數字不一定能确定出來，此時常用放縮取點法，這是導數零點存在問題的常規處理方法，對函數最小值化簡之後根據函數的下界0可直接求出x0的範圍，接下來在求參數範圍中并沒有利用參數和隐零點的等式關系來确定，用一階導函數的單調性直接比較隐零點所在區間的左右邊界對應函數的大小關系即可。當然本題也有其他解法，在此隻展示隐零點的處理方法。

這個問題在上次推送中給出了，k為整數，分離參數求函數的最小值即可，先确定隐零點所在的整數範圍，再根據化簡之後的最小值式子的單調性确定出值域，因為值域中包含整數6，需要對隐零點所在範圍重新界定，可以直接令化簡之後的最值式子等于6反求出對應的x0的邊界，驗證即可，這種重新界定隐零點範圍的方法是一種較為通用的方法，比二分法更為準确。

這個題目和上題類似，所求最值在大緻求出的隐零點範圍中範圍過大，可令最值直接等于-1反求出對應的邊界值，在方法上本題和上題差别不大，但難度相對有所提升。

本題屬于無參函數證明題，若采用直接求最值的方法，化簡之後的最值式子相對複雜，但最值式子中(x0-1)lnx0保号，剩下的二次式子在初步确定的隐零點區間内并不單調，可直接利用函數下界0反推出對應的x0，當然本題中展示的方法是利用放縮取點法确定出x0的上界，總體難度不大。

本題更加簡單，利用給定最值的邊界反求出x0的範圍即可。

最後這道題目思路很清晰明了，利用參數a和隐零點的關系以及給定a的範圍反推出x0的範圍，出于計算簡便起見，本題并沒有轉化為關于a的函數，題目難度中等，屬于文科數學中的導數壓軸題。

最後關于隐零點的問題希望同學們自己重複做一下三期中題目，自己品味一下其中的解法，隐零點問題常見常考且實用，希望都能熟練掌握。

參考鍊接：

指對數同構的再分析第一部分

指對數同構的再分析第二部分

思維訓練34.指對數混合型函數中的構造法

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