2021年湖南嶽陽中考數學的幾何壓軸題，是一道關于旋轉變換的問題。這道題有三個小題，四個問題（也可以看作有五個問題）。雖然問題很多，但是這道題是所有中考數學解答題中，最具有規律性的。隻要解決了其中兩個問題，就可以通過舉一反三，融會貫通，把其它的問題全部解決了。它就像一個巨大的摩天輪一樣，隻要您不被轉暈，剩下的就隻有享受其中的樂趣了。

(1)如圖①，在△ABC中，∠ABC=130度，将△ABC繞點C逆時針旋轉50度，得到△A’B’C’，連接BB’，求∠A’B’B的大小；

(2)如圖②，在△ABC中，∠ABC=150度，AB=3，BC=5，将△ABC繞點C逆時針旋轉60度得到△A’B’C’，連接BB’，以A’為圓心，A’B’長為半徑作圓.

（I）猜想：直線BB’與⊙A’的位置關系，并證明你的結論；

（II）連接A’B，求線段A’B的長度；

(3)如圖③，在△ABC中，∠ABC=α（90度<α<180度）,AB=m，BC=n，将△ABC繞點C逆時針旋轉2β角度（0度<2β<180度）得到△A’B’C’，連接A’B和BB’，以A’為圓心，A’B’長為半徑作圓. 問：角α與角β滿足什麼條件時，直線BB’與⊙A’相切，請說明理由，并求此條件下線段A’B的長度(結果用角α或角β的三角函數及字母m，n所組成的式子表示)

分析：五個問題中，有三個是與求證BB’與圓A的位置關系有關的，其中有兩個是相切的關系。也可以說，三個問題都是求角A'B'B的大小的。另外兩個都是求A'B的長度的。

解：(1)∵BC=B’C，∴∠BB’C=(180度-∠BCB’)/2=65度，

∵∠A’B’C=∠ABC=130度， ∴∠A’B’B=∠A’B’C-∠BB’C=65度.【在這裡，我們就可以想象到後面兩道小題中，隻要這個角是直角，BB’與圓A就會形成相切的位置關系。這就是“出題人引到門口，能不能要到飯就看自己的道行了”（潮汕的一句口語的意思“嬌到門樓，霸無碗暗”）】

(2)（I）BB’與⊙A相切，理由如下：

∵BC=B’C，∴∠BB’C=(180度-∠BCB’)/2=60度，

∵∠A’B’C=∠ABC=150度， ∴∠A’B’B=∠A’B’C-∠BB’C=90度.【瞧這過程，和第(1)小題的過程，幾乎一模一樣的，就是角度略有不同】

（II）由（I）知△BB’C是等邊三角形，BB’=BC=5,

又A’B’=AB=3,在Rt△A’B’B中，A’B=根号(AB^2 BB'^2)=根号34.【第(3)小題還會再求一次A'B的長，方法略有不同。】

(3)當角α與角β互補時，BB’與⊙A’相切. 理由如下：

∵BC=B’C，∴∠BB’C=(180度-∠BCB’)/2=90度-β，

∵∠A’B’C=∠ABC=α，∴∠A’B’B=∠A’B’C-∠BB’C=α β-90度.

當α β=180度，即角α與角β互補時，∠A’B’B=90度，∴BB’與⊙A’相切.【對比(1)和(2)（II）,出題人你确定自己不是來送分的嗎？】

過C作CD⊥BB’于點D，則BB’=2B’D=2B’Csin∠BB’C=2ncosβ, 【這裡運用了等腰三角形BB'C的底邊BB'“三線合一”的性質。同時運用了三角函數公式：sin(90度-β)=cosβ，即正弦等于餘角的餘弦】

又A’B’=AB=m，在Rt△A’B’B中，A’B=根号(A’B'^2 BB‘^2)=根号(m^2 4n^2(cosβ)^2).

您見過這樣送分的中考數學幾何壓軸題嗎？這回就被您撞上了。看完一鍵三連，點贊、收藏、推薦、轉發、關注，祝您或您的家人朋友中考都遇到這樣的幾何壓軸題。

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