奇函數和偶數進行四則運算還是不是奇偶函數了？該如何證明？

hello，大家好這裡是擺渡學涯，這次課程咱們來為大家講一下奇函數與偶函數進行四則運算該如何進行相關的奇偶性的判斷以及如何進行相關的證明。幫助高一的學生們在這次期中考試中取得理想的成績哦。

1 奇函數加偶函數的奇偶性

例題1：已知f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，且兩者的定義域相同，判斷f(x) g(x)的奇偶性。

解：由題意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=f(x) g(x)，則h(x)的定義域關于原點對稱。

h(–x)=f(–x) g(–x)，而h(x)不等于h(–x)，–h(–x)=–f(–x)–g(–x)，即h(x)不等于–h(–x)，因此h(x)為非奇非偶函數。

舉例說明：f(x)=x，g(x)=x的平方，h(x)=x x的平方，h(–x)=–x x的平方，可以看出h(x)為非奇非偶函數。

2 奇函數減偶函數的奇偶性

例題2：已知f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，且兩者的定義域相同，判斷f(x)-g(x)的奇偶性。

解：由題意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=f(x)-g(x)，則h(x)的定義域關于原點對稱。

h(–x)=f(–x)-g(–x)，而h(x)不等于h(–x)，–h(–x)=–f(–x) g(–x)，即h(x)不等于–h(–x)，因此h(x)為非奇非偶函數。

舉例說明：f(x)=x，g(x)=x的平方，h(x)=x-x的平方，h(–x)=–x-x的平方，可以看出h(x)為非奇非偶函數。

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3 偶函數減奇函數的奇偶性

例題3：已知f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，且兩者的定義域相同，判斷g(x)-f(x)的奇偶性。

解：由題意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=g(x)-f(x)，則h(x)的定義域關于原點對稱。

h(–x)=g(–x)-f(–x)=g(x) f(x)，而h(x)不等于h(–x)，–h(–x)=–f(x)–g(x)，即h(x)不等于–h(–x)，因此h(x)為非奇非偶函數。

舉例說明：f(x)=x，g(x)=x的平方，h(x)=x的平方-x，h(–x)=x x的平方，可以看出h(x)為非奇非偶函數。

從例題3和例題2中的說明，我們可以發現，隻要按照定義進行相關的驗證就能證明出來，希望大家下去能夠自己給以相關的證明哦。自己多找幾道練習題進行相關的驗證。偶函數減去奇函數的奇偶性和奇函數減去偶函數的奇偶性是不同的概念哦，一定要進行細分。

4 偶函數乘以奇函數的奇偶性

例題4：已知f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，且兩者的定義域相同，判斷f(x)g(x)的奇偶性。

解：由題意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=f(x)g(x)，則h(x)的定義域關于原點對稱。而h(–x)=f(–x)g(–x)=-f(x)g(x)=-h(x)，因此h(x)為奇函數。

留給大家一個小作業，自己舉例進行驗證一下吧。

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好了本次課程我們就為大家分享到這裡了，咱們下次課再見。如果關于孩子學習方面發問題你還有什麼疑問，請在下方為我們留言吧。咱們将第一時間給以您滿意的答複哦。

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