随着研究問題的深入與廣泛，數學家們越來越感到建立嚴謹的極限理論的必要性，下面再給出兩個困擾數學家的問題。

第一個問題，如何判斷一個函數是否存在導數。

用現在的語言，一個函數在某一點不存在導數被稱為這個函數在這一點不可導。對于分段函數，在斷點是不可導的，不僅如此，對于連續函數也出現了這樣的情況。對于

瞬時速度=dy/dx=lim(△t→0)[(f(t₀ △t)-f(t₀))/△t]

當△t趨于0時，t₀ △t從正方向趨于t₀。但是，瞬時速度應當是對稱的，

由負方向趨于t₀時應當得到同樣的結果，于是下面的定義也應當成立，即

瞬時速度=dy/dx=lim(△t→0)[(f(t₀)-f(t_0-△t))/△t]

這樣就引發了問題：連續函數也可能是不可導的。比如，函數f(x)=|x|是一個連續函數，但在0點是不可導的，令t₀=0，那麼由正方向(f(t₀ △t)-f(t₀))/△t=1；由負方向f(t₀)-f(t_0-△t))/△t=-1。更讓數學家們感到震驚的是，德國數學家魏爾斯特拉斯在1861年給出了一個處處連續但是處處不可導的例子，這個函數是

F(x)=∞∑(n=0)bⁿcos(aⁿπx)

其中a是奇數，b是取值于（0，1）滿足ab>1 3π/2的常數。這就意味着，存在一條處處沒有切線的連續曲線，這與人們的幾何直觀相悖。這時數學家意識到，完全憑借幾何直觀來分析問題是不夠的，那麼，應當如何來解釋這些問題呢？

第二個問題，如何判斷一個無窮級數是否收斂。

有時候，一個函數或者無理數可以由一些簡單函數或者有理數的和的形式表示，當然，這個和可以是無窮，我們稱這樣的和為級數或者無窮級數。比如F(x)=∞∑(n=0)bⁿcos(aⁿ∏x)就是一個無窮級數，而二項式展開是我們熟知的級數，即

(x y)ⁿ=xⁿ a₁x^n-1y a₂x^n-2y² ... a_n-1xy^n-1 yⁿ

系數a₁,a₂,...，a_n-1被稱為二項系數或者楊輝三角，即

a_k=n(n-1)...(n-k 1)/k!

其中k=1，...n-1，k!表示由1到k的整數連乘。很顯然，可以對級數中的項進行逐項微分或積分，這樣就可以把複雜問題化簡。牛頓對于二項式展開的使用極為熟練，他利用一般形式的二項式展開和逐項積分，得到了描述三角函數的無窮級數：

Sinx=x-x³/3! x⁵/5!-x⁷/7! ... (-1)ⁿx^{2n 1}/(2n 1)! ...

Cosx=1-x²/2! x⁴/4!-x⁶/6! ... (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! ...

通過逐項微分容易知道，sinx的導數可以用cosx表示，cosx的導數可以由sinx表示，即

(sinx)’=cosx和（cosx）’=-sinx。利用這個結果可以得到反正切函數的導數，在利用微積分基本定理可以得到下面的結果：

arctanb-arctan0=∫^b₀[1/(1 x²)]dx

因為arctan0=0，當b=1時arctanb=π/4，于是從上式可以得到

π/4=∫¹₀[1/(1 x²)]dx

對于（1 x²）^-1用二項式展開的一般公式可以得到

1/(1 x²)=1-x² x⁴-x⁶ x⁸-x¹⁰ ...

我們已經知道(x^m)’=mx^m-1，由微積分基本定理，對上式逐項從0到1積分，再利用

π/4=∫¹₀[1/(1 x²)]dx 可以得到著名的用交錯級數表示∏的公式

π/4=1/1-1/3 1/5-1/7 1/9-1/11 1/13-1/15 ...

這個公式是萊布尼茨寫給牛頓的信中首次提到的，被人們稱為萊布尼茨公式。問題越來越清晰了，上面的無窮級數表明：一個無理數可以用有理數的極限形式表示(1 x)^-1用二項式展開的一般公式可以得到

1/(1 x)=1-x x²-x³ x⁴-x⁵ ...

如果令x=1，通過上面的式子可以得到

1/2=1-1 1-1 1-1 ...=(1-1) (1-1) (1-1) ...=0

意大利數學家格蘭迪在他1703年的小冊子《圓與雙曲線方程》中給出了上面的結果，并且認為自己證明了世界可以從無到有。真是不可思議，問題出在什麼地方呢？

事實上，在17-18世紀，無窮級數的斂散性概念尚未進入數學家的視野。面對發散級數，他們犯了許許多多的錯誤。

雖然問題還有很多，但是受微積分的啟發，人們認識到數學運算的方法，甚至數學的理論體系都是可以創造的，特别是微積分在自然科學，科學技術各個鄰域的巧妙而廣泛的應用，更激發了數學家們的創造性。在這之後的幾個世紀，針對研究問題的背景不同，一些全新的數學分支逐漸發展起來，比如，無窮級數，常微分方程，偏微分方程，微分幾何，變分數，複變函數；代數數論，解析數論，非歐幾何等等。這些學科的産生對于推動數學本身的發展，對于利用數學更好地描述現實世界都起到了極為重要的作用。

另一方面，數學家們認為，必須認真地對待微積分，正如柏林科學院所說的，必須建立一個清晰的精确的理論來解釋微積分的合理性。歐拉，拉格朗日，法國數學家達蘭貝爾，柯西，魏爾斯特拉斯等人都做出了傑出的工作。

數學家們認識到，微積分隻是一種計算方法，而要把理論基礎研究清楚，必須建立一個從頭到尾相對成系統的學科，于是他們給這個學科起了一個非常了不起的名字：數學分析。到微積分為止，數學在本質上是建立在物理直觀和幾何直觀的基礎上的，人們曾經嘗試仍然用物理直觀和幾何直觀來解釋微積分，如上所說，沒有成功。于是，數學家們決心改變研究思路，把數學建立在明确的定義和數學符号的基礎上，這正如我們反複談到，這是數學的第二步抽象，隻有通過這一步抽象，才可能建立起清晰的數學理論。

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