【分析方法導引】

在有關圓的問題中，如果不考慮有關線段之間的數量關系時，就應想到要應用與圓有關的角的基本圖形進行證明。

當幾何問題中出現了同一個圓上的四點時，就可以想到應用圓周角的基本圖形進行證明。接下來就應分析問題中出現的所要研究和讨論的角是出現在圓内接四邊形的内角或外角上，還是出現在同弧所對的圓周角上。若出現在圓内接四邊形的内角或外角上，則添圓内接四邊形的邊而不必連對角線，然後應用對角的互補關系或外角與内對角的等量關系來完成證明。若出現在同弧所對的圓周角上，則添加兩條對角線而不必添一組對邊，然後應用同弧所對圓周角的等量關系完成分析。

當幾何問題中出現了圓的直徑和半圓上的一點或者出現了90°的圓周角時，就可想到要應用半圓上的圓周角的基本圖形進行分析。如有直徑和半圓上的點而沒有圓周角時，應将半圓上的點與直徑的兩端點分别連接；如有90°的圓周角而沒有直徑時，應聯結圓周角的兩邊與圓的交點，而這條連線必定過圓心，也就必定是圓的直徑。接下來就可以應用直角三角形的性質完成分析。

圖4-13

分析：本題要證明△PGH是等邊三角形，所以可證明這個三角形有兩個内角是等于60°。

由條件P、H、G都在⊙O上，或者也就是⊙O是△PGH的外接圓，所以這個三角形的三個内角都是⊙O的圓周角，所以要應用圓周角或圓内接四邊形的基本圖形的性質進行證明。

由條件G、P、H、E四點共圓（如圖4-14），可得∠PGH=∠PEH，于是要證明∠PGH=60°，就是要證∠PEH=60°，而由條件PE∥BA，∠PEH=∠A和已知∠A=60°，這個性質就可以證明。

圖4-14

又因為P、H、G、F四點共圓，且A、F、B成一直線，所以∠BFP=∠GHP，這樣要證∠GHP=60°，就成為要證∠BFP=60°，而由條件PF∥CA，∠BFP=∠A=60°，這個性質也可以證明，分析也就可以完成。

例 8 如圖4-15，已知：⊙O中，A是弧BC的中點，弦AD、AE交BC于F、G，EF、DG的延長線交⊙O于K、H。求證：KH∥BC。

圖4-15

分析：本題要證的結論KH∥BC是兩條平行線的判定問題，若将KH和BC看作是被AE所截，那就可以證明∠AMK=∠AGB。

由于∠AGB是⊙O的一個圓内角，所以應用圓内角的性質可得∠AGB的度數等于弧AB 弧CE的度數的一半，而已知弧AB=弧AC，所以弧AB 弧CE=弧AC 弧CE=弧AE，于是∠AGB就應等于弧AE所對的圓周角，而這個圓周角圖形中尚未出現，所以應将它添出，于是聯結ED（如圖4-16），可得∠AGB=∠ADE。

圖4-16

又因為A、G、E成一直線，出現了∠AGF是四邊形GFDE的一個外角，所以由∠AGB=∠ADE，就可得四邊形GFDE是圓内接四邊形或者也就是G、F、D、E四點共圓。

另一方面，我們要證明相等的另個角，即∠AMK也是⊙O的一個圓内角，所以也有∠AMK的度數應等于弧AK 弧EH的度數的一半，也應等于弧AE的度數的一半，所以問題就成為要證弧AE=弧AH，進一步也就是要證它們所對的圓周角相等，即應證∠AEK=∠ADH，而由我們已經證明的性質G、F、D、E四點共圓，這個性質是可以證明的。

由于本題的條件中出現了A是弧BC的中點，所以也可以直接應用垂徑定理的性質來進行分析。而現在圖形中尚未出現過弧的中點的直徑，所以應先将它添上，也就是聯結OA（如圖4-17），即可得OA⊥BC。而我們要證明的是KH∥BC，從而也就應證OA⊥KH，這樣又可轉化為要證弧AK=弧AH，根據前面的讨論，這個性質可以證明，所以分析可以完成。

圖4-17

由于本題的條件中出現了A是弧BC的中點，所以也可應用過的中點作切線，也就是弦的平行線的方法進行證明，于是過A作⊙O的切線MN，并聯結AC（如圖4-18），則由弧AB=弧AC就可得圓周角∠BCA和弦切角∠NAC相等，所以MN∥BC。這樣要證KH∥BC也就轉化為證KH∥MN，所以也是要證弧AK=弧AH，由于這個性質可以證明，所以也可以完成分析。

圖4-18

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