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概率問題的數學原理

圖文 更新时间:2024-12-25 23:36:35

概率問題的數學原理(從3個數學故事看概率論)1

數學并非無用

隻是太超前

“哼,數學除了摧殘我們這些祖國的花朵之外,然而并沒有什麼卵用。”

超模君:看來最近又要拿些真材實料來摧殘一下祖國的花朵。。。

概率問題的數學原理(從3個數學故事看概率論)2

于是,超模君又開始要講故事了:

概率論

在文藝複興時期,意大利出現了一位大學者,卡爾達諾(Girilamo Cardano),他精通數學、物理、醫學、哲學、星占學。

概率問題的數學原理(從3個數學故事看概率論)3

有趣的是,這位百科全書式的學者十分好賭,并且賭術不高明,因此,他也輸掉了大把的家産。

不過,他喜歡賭博,也喜歡研究賭博,因此寫下《論賭博遊戲》一書,于1663年出版。這本書被認為是第一部概率論專著,開創了現代概率論研究的先河,也為如今的精算學做了鋪墊。

所以大家千萬不能跟數學好的賭博,因為輸慘了,分分鐘會寫成一本巨作!

賭徒常有,而會數學的賭徒不常有!

在一個世紀之後,法國賭徒梅内在他常玩的兩個遊戲中發現了一些問題(愛思考的賭徒運氣都不會太差)。

在他常玩的兩個遊戲裡:

一個是連續擲4次色子,看能否扔出一個6;一個是擲兩個色子,連續24次,看能否扔出2個色子都是6的情況。

最開始,梅内認為兩種遊戲方式赢錢的概率是相等的,但經過多次輸錢後,他發現了不同:

第一個遊戲他赢多輸少。。。第二個遊戲卻是輸多赢少。。。

于是,梅内向朋友數學家帕斯卡求助。。。

趕緊找個數學好的做朋友

概率問題的數學原理(從3個數學故事看概率論)4

就在1654年,帕斯卡與費馬探讨了這個問題(為概率論的發展打下了基礎)。

随着1657年荷蘭數學家惠更斯《論賭博中的計算》的發表,成為了第一部公開發表的概率論著作。

17世紀晚期,雅各布·伯努利發現,概率論遠遠不止用于賭博,他發現了一個神奇而又常見的情況:

大家可以回想一下:當我們随機擲一次色子,每個數字出現的概率都是1/6,但連續擲6次色子并不能确保每個數字都能出現。

他将他的思考和研究記錄下來,寫成了《猜度數》一書(此書到他死後的1713年才出版)。

概率問題的數學原理(從3個數學故事看概率論)5

他提出了伯努利實驗,是指在同樣的條件下重複地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗。由于樣本點不一定是等概率的,許多實際問題都可歸結為這種模型。

更重要的是,伯努利還提出了大數定理:指在一個随機事件中,随着試驗次數的增加,事件發生的頻率越趨近于一個穩定值。

這個定律在保險公司得到了充分利用(保險公司的朋友趕緊來關注)。

在此之前,保險公司隻敢賣出有限的保單,因為他們認為賣出的保單越多,賠付的風險看上去就越高,這可能會導緻公司垮掉。而在得知大數定理後,也就從18世紀初開始,保險公司終于開始大肆推銷保險。因為根據大數定理,可以知道:保單賣得越多,賠付的概率就越趨于穩定,風險是可控的。

事實上,經濟學裡的最優決策以及穩定增長問題都離不開概率論。

在物理學、化學反應動力學、生物學上,也會運用到概率模型來解決問題。

概率問題的數學原理(從3個數學故事看概率論)6

随機引起的流體力學的湍流

如今,很多服務系統,如電話通信,船舶裝卸,機器損修,病人候診,紅綠燈交換,存貨控制,水庫調度,購貨排隊等,這些涉及“排隊過程”的問題都可用概率模型來描述,進而進行合理的安排。

在空間科學和工業生産的自動化技術中需要用到信息論和控制理論,而研究帶随機幹擾的控制問題,就要用到概率論方法。

概率論活躍在各個領域,正如拉普拉斯曾說過的這句話:生活中最重要的問題,其中絕大多數在實質上隻是概率的問題。

超模君:等下,我先去買注!

最密堆積

就在剛才去買的時候,超模君路過一個水果攤,老是占道經營,那是不是解決空間利用率問題,他們就不會再占用道路了。。。

心想:假如在你面前放着一堆橙子,該如何進行擺放才能最省空間的?

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憑直覺,任何人都會說:第一層橙子彼此相鄰的凹處放第二層橙子。

但這種直覺對嗎?如果是對的話,那誰能給出證明呢?

趕緊回去翻書:原來在1611年,開普勒就提出過:水果商堆橙子的辦法對空間的利用率是最高的,但卻沒辦法證明(以前數學家的偉大之處,總是能留一些神奇的猜想)。

概率問題的數學原理(從3個數學故事看概率論)8

軍隊堆垛炮彈

在此後的400多年裡,衆多數學家開展了對“開普勒猜想”的證明。

直到1998年,美國匹茲堡大學的托馬斯·海爾斯(Thomas C. Hales)終于對這個“直覺”問題給出了證明:在箱子裡堆放大小一樣的球,用“面心立方體”的堆積方式(即上層圓球安放在下一層圓球中間的各個凹處)可以使空間利用率最高。

也就是說,水果商憑借直覺跟經驗,在箱子裡裝橙子的辦法一直都是最有效的。

誰也沒想到,堆一堆橙子竟然發現這樣的規律:

這些有關最密堆積的研究成果促進了現代通訊技術的發展,成為了信道編碼和糾錯編碼研究的核心内容。

類似的,還有這個“牛頓數問題”。

牛頓數,“Kissing Number”,是與一個n維球外切的等維球的個數。

在17世紀,牛頓和大衛·格裡高裡一直在争論,到底三維的牛頓數是多少。

如下圖,很明顯可以看出二維的牛頓數是6,牛頓認為三維的牛頓數是12,卻沒有證明。

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直到1953年,科特·舒特和範·德·維爾登才終于證明了三維的牛頓數确實是12。

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三維(牛頓數是12)

2003年,奧萊格·穆辛證明了4維的牛頓數是24。至于5維的牛頓數是多少,目前隻知道它在40到44之間。早在1979年,美國明尼蘇達大學的安德魯·奧德裡茲克證明了8維的牛頓數是240,24維的牛頓數是196560。事實上,8維和24維的牛頓數的證明比三維的牛頓數簡單,它們跟超密集的球體填充問題有關:8維E8點陣和24維Leech點陣。

這些看似無用的發現,其實跟互聯網的發展密不可分。

20世紀60年代,一位叫戈登·朗的工程師在設計調制解調器系統時,将信号當做是一個個包含信息的“小球”,隻有這些“小球”被盡可能緊密的排列起來,才能達到信息量最大化。

經過十幾年的研究,他終于發明了采用E8堆積法傳遞8維信号的調制解調器。這項技術可以通過電話線進行信号傳播,因此不必重新設計信号電纜,大大促進了互聯網的發展。

超模君:後來把方法告訴老闆,老闆說:哦!

拓撲學

1736年,29歲的歐拉(Leonhard Euler)向聖彼得堡科學院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文,圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的七橋問題,證明了不可能在所有橋都隻走一遍的情況下,走遍連接河中心兩個小島和兩岸的所有七座橋。

歐拉大神總是在習以為常的情況下,發現各種超乎想象的次元!

概率問題的數學原理(從3個數學故事看概率論)11

事實上,歐拉的解決方法是忽略了橋的長度和島的大小,将島和橋簡化成了平面上的點與線。

概率問題的數學原理(從3個數學故事看概率論)12

是的,歐拉的發現為後來的數學新分支——拓撲學的建立奠定了基礎。

1847年,李斯亭(Johann Benedict Listing)将歐拉的才智進一步發展,對于這一新的數學領域,引入了“拓撲學”的概念。

數學家們覺得拓撲學十分有趣,在此後的一個多世紀,數學家們進行了大量關于拓撲學應用的研究。但是,這隻是在研究,并沒有将它進行實際應用。

如果想看看到底有多有趣,歡迎移步:《如何讓你在10分鐘内了解拓撲變換》。

直到20世紀90年代,拓撲學的應用終于開始真正的發展。

現在,幾乎所有領域離不開拓撲學了。

生物學家通過扭結理論理解DNA的結構;計算機學家通過扭結在一起的同軸電纜制造量子計算機;機器人科學家也用相同的理論使機器人走路;醫生以同調論為基礎為病人做大腦掃描;宇宙學家以此來理解銀河系的形成;通信公司運用拓撲學來決定如何布置基站進行網絡覆蓋;手機的照相功能也是通過拓撲學原理實現的;還有,超模君用莫比烏斯帶做了個戒指表白,然後被拒。

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超模君:又說起傷心事,下次要學學薛定谔!

事實上,即使是那些理論性最強的數學研究,也可能在幾十年後,在一些意想不到的領域中産生作用。

确實,數學成果從應用,再到産生實際效益,其時間并不可知,但他的價值卻一直在那裡,或許這也是數學的魅力。

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