小學數學不會教的内容1——純循環小數化分數
2018年8月15日星期三
這些所謂“不會教”的内容,應當屬于小學數學的課外拓展知識,學有餘力的五、六年級小朋友完全可以看一看。不過,從各取所需的角度,受衆範圍也可以大一些,因為,除了“賣弄”一些“超綱”的内容,大抵也是要複習已學知識的。沒有任何一片新知的“嫩芽”不是生長在舊知茁壯的“枝杆”上的。
談及分數和小數,不得不簡要地提一下“數的發展”(詳見前文《寫給小學生的:漫談數的發展》)。數系目前共經曆了4次擴張。第一次擴張誕生了負數,使得自然數擴張為整數。第二次擴張增加了“整數之比”,使得整數擴張為分數。第三次擴張是由于發現了永遠不能表達成“整數之比”的無理數,使得數系擴張為小數。至此,“一維數”達到了完備,它的幾何模型是“數軸”,小數與數軸完全匹配、一一對應,小數亦稱實數,與之匹配的數軸亦稱實數軸。第四次擴張則是由于虛數到了不得不面對的境地,數學家們勇往直上,強制規定-1的平方根為i,因而誕生了“複數”。為了更好地理解複數,人們用“二維”複平面作為複數的幾何模型。至此,可以說數由“一維”邁向了高維——二維。或許,今後還有新的數系的擴張,更高維度的,您可以作暢想。但此處,我們僅為更好地理解分數與小數。
關于其中的幾個基本概念,見下面幾頁教材,不再贅述。
人教版五數上冊33、34頁
所謂“純循環小數”,指循環部分從十分位開始的循環小數,也即小數部分“完全循環”的無限小數,如:5.333……。“混循環小數” 指循環部分從十分位以後開始的循環小數,也即小數部分“部分循環”的無限小數,如:7.14545……、6.93585858……。
除了這些基本的概念之外,我們重點關注兩點:
(1)小數包含分數。這是對所以要進行“分數與小數的互化”的最天然、最合理的解釋,因為,在此範圍内的同一個數,既可以擁有分數的表達形式,也可以擁有小數的表達形式。就像一個小朋友,在家可以穿各款心愛的衣服,在校可以穿劃一的校服,可以順利切換。服裝雖然變了,但人依然是那位“可愛”的小朋友。分數與小數在不改變自身大小的情況下,也是可以自由切換的。但是,我們的小學數學并沒有對此做出完整的學習,我們所做的事實上僅僅是 “分數化小數”和“整數、有限小數化分數”,對于“無限循環小數化分數”,則是沒有學習的。本文正是針對這一空白展開拓展,拟分兩篇,分别就“純循環小數化分數”、“混循環小數化分數”展開介紹。
(2)小數的範圍大于分數。不是所有的小數都能化成分數,或者說,不是所有的小數都具有分數形式。小數中有一類特别“不講道理”的數——無限不循環小數,也即無理數,是永遠不能化成分數的。因此,所謂“分數與小數的互化”,是在“有理數”範圍内的,也就是分數範圍内的,而不是小數範圍内的。所有的分數都能化成小數,是正确的;所有的小數都能化成分數,則是錯誤的。無理數,首先是無限小數。何謂“無限”?即窮盡所有的時間、空間,亦不能将其寫完。然後是“不循環”,這是極讓人抓狂的地方,在無窮無盡的小數部分中,居然連一絲“規律性”都沒有,這使得無理數的小數部分充滿了“謎一般”的效果,它變化無常,自然不可能靜态化為一個安穩的、本分的分數形式。您必須對此有所認識,不要花費不必要的工夫在“尋找任何化無理數為分數的可能上”。數學家們已經利用“反證法”證明,将無理數寫成分數形式是一件不可能的事情。
在給出“純循環小數化分數”的具體方法之前,我們先來觀察一組“分數化小數”的趣題。分數化小數的實質是除法運算,即:分子÷分母。既然是除法,則其結果“商”除了是整數、有限小數之外,就是無限循環小數。這也恰好說明:隻有這三類數才有可能“還原”成分數形式。至于什麼情況下分子除以分母的商是有限的,什麼情況下是無限循環的,我們的課本提供了簡潔的判斷方法,複習如下:
人教版五數下冊79頁
下面的“趣題”運用的就是“分子÷分母”的方法。如果将其中的最簡分數如:1/9、2/9……的分母9進行“質因數分解”,則有:9=3×3。可見,其質因數全是2和5以外的,因此根據上面的判别方法可知,這些分數隻能化成無限小數,好在其小數部分是“循環”的,有迹可循!其他不是最簡分數的,比如:3/9、6/9……可以先化簡,再應用上述判斷方法。當然,終極方法是:将分子除以分母一條道除到“黑”,至少除到可以發現循環為止。
這組算式可以揭示分數的“形式之美”,它使沒完沒了的循環小數擁有了簡潔、靜态的分數形式,使其可以完整、準确地參與運算,而不再隻是“截取”一部分,做近似計算。小數大抵在這方面很無能,隻能采用“近似”的辦法。“簡潔的形式”、“準确、完整的結果”,是分數存在的重要價值,這是小數所不能取代分數的根本原因!當我們依次推導得出:0.999999……=1時,就會不禁地感歎這種簡潔的“形式之美”!
接下來我們轉換觀察的角度,反向思考如何将“循環小數化成分數”,則會發現上面算式的共通之處:一位循環節÷一個9。
進一步拓展有:
幾位循環節÷幾個9
(重要程度★★★★★)
這就是“純循環小數化分數”的方法,得來全不費工夫,我們隻是在“豐厚”的舊知的基礎上,略微前進了一小步。就讓我們在“呯……呯……”地激動聲中趕緊驗證一下吧:
(其中:2_5/111表示2又111分之5,是帶分數的橫寫形式)
怎麼樣?屢試不爽吧!
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