我們已經知道菱形是特殊的平行四邊形，它的判定方法一共有五種，分别是①四邊都相等的四邊形是菱形；②兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 ；③鄰邊相等的平行四邊形是菱形；④對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 ；⑤一條對角線平分一個頂角的平行四邊形是菱形.在做幾何證明題的時候我們常用的判定方法主要是前三種.

二次函數和菱形存在性問題作為壓軸題目，結合了“分類讨論思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，勢必要比單純的菱形判定思考難度要大的多，因此我在研究了近些年中考真題之後嘗試性的總結一下菱形存在性問題的通用解法，以供大家參考.

縱觀曆年中考真題，菱形存在性問題主要是以“兩定兩動”為設問方式，其中兩定指的是四邊形四個頂點其中有兩個頂點的坐标是确定的或者是可求解的；兩動指的是其中一個動點在一條直線或者抛物線上，另外一個動點是平面内任意一點或者該動點也在一條直線或者抛物線上.

1.知識鋪墊

鋪墊1：等腰三角形的構造方法

點A和點B為平面内的兩個定點，點C為水平直線上的一個動點，要使△ABC為等腰三角形，請利用尺規作圖的方法作出點C的位置.

圖1是以AB為底邊（AC和BC為腰），作出線段AB的垂直平分線交直線于點C1；

圖2是以AB為腰，以點A為圓心，以AB長度為半徑作圓，交直線于點C2；

圖3是以AB為腰，以點B為圓心，以AB長度為半徑作圓，交直線于點C3、C4；

我們把上述作圖方法簡稱為“兩圓一中垂”.

鋪墊2：平行四邊形頂點坐标公式

根據平行四邊形的性質對角線互相平分，可以知道點O為線段AC和線段BD的中點。

①兩定點确定的線段為邊作菱形

如圖所示，點A和點B為平面内兩個定點，點C是直線l上一個動點，點D是平面内的一個動點.

以AB為菱形的邊，請作出符合題意的菱形

作圖方法：由于點D是平面内的任意一個動點，意味着該點需要借助其它的點才能确定下來，因此，我們第一步先确定動點C的位置.要想使以AB為邊的四邊形是菱形，根據菱形的判定方法3我們可以确定△ABC是以AB為腰的等腰三角形，因此我們可以借助等腰三角形存在性知識，來确定點C的位置.确定方法具體如下：

以點A為圓心，以AB長度為半徑畫圓，交直線l于點C1和C2.

接下來需要确定點D的位置.以BC為對稱軸作點A關于BC的對稱點D，由于點C有兩個點，确定下來的點D有兩個.

再以點B為圓心，BA長度為半徑畫圓，交直線l于點C3和C4，利用同樣的方法作出點D3和D4.

解題策略：

第一步：确定點C的坐标

設出點C坐标，利用兩點間距離坐标公式，表示出AB、AC、BC的長度.

當AB=AC時，列出方程，求出點C的坐标；

當BA=BC時，列出方程，求出點C的坐标.

第二步：确定點D的坐标

根據平行四邊形頂點坐标公式

可求出點D的坐标.

②兩定點确定的線段為對角線作菱形

如圖所示，點A和點B為平面内兩個定點，點C是抛物線上一個動點，點D是平面内的一個動點.

點C關于AB的對稱點為點D，請作出所有符合題意的圖形.

作圖方法：第一步：作出AB的垂直平分線；第二步：作點C關于AB對稱點D.

解題策略：

第一步：求出AB的中點坐标和AB的斜率k，利用兩直線垂直，斜率乘積為﹣1這個結論，設直線CD的解析式為y=﹣1/k b，再把AB中點坐标代入上式，解出b的值.求出CD解析式.

第二步：聯立直線CD和抛物線，可以解得點C的坐标；

第三步：确定點D的坐标，根據平行四邊形頂點坐标公式可求出點D的坐标.

2.方法探究

作為一種特殊的平行四邊形，我們已經知道可以從以下幾種方式得到菱形：

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；

（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（3）四邊都相等的四邊形是菱形．

坐标系中的菱形存在性問題也是依據以上去得到方法．和平行四邊形相比，菱形多一個“對角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實是等價的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個點坐标需滿足：

考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不适合直接用，故取兩鄰邊相等．

即根據菱形的圖形性質，我們可以列出關于點坐标的3個等式，故菱形存在性問題點坐标最多可以有3個未知量，與矩形相同．

就常規題型而言，菱形存在性至少有2個動點，多則有3個動點，可細分如下兩大類題型：（1）2個定點 1個半動點 1個全動點；（2）1個定點 3個半動點。解決問題的方法也可有如下兩種：

思路1：先平四，再菱形

設點坐标，根據平四存在性要求列出“A C=B D”（AC、BD為對角線），再結合一組鄰邊相等，得到方程組．

思路2：先等腰，再菱形

在構成菱形的4個點中任取3個點，必構成等腰三角形，根據等腰存在性方法可先确定第3個點，再确定第4個點．

引例：如圖，在坐标系中，A點坐标（1,1），B點坐标為（5,4），點C在x軸上，點D在平面中，求D點坐标，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形．

思路1：先平四，再菱形

思路2：先等腰，再菱形

以上隻是兩種簡單的處理方法，對于一些較複雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便的方法．

【兩定兩動：坐标軸 平面】

1.（2019齊齊哈爾中考題，有删減）如圖，抛物線y=x² bx c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OA=2，OC=6，連接AC和BC．

（1）求抛物線的解析式；

（2）若點M是y軸上的動點，在坐标平面内是否存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐标；若不存在，請說明理由．

【兩定兩動：對稱軸 平面】

2.（2019遼陽中考題，有删減）如圖，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的邊BC在x軸上，∠ABC=90°，以A為頂點的抛物線y=-x² bx c經過點C（3，0），交y軸于點E（0，3），動點P在對稱軸上．

（1）求抛物線解析式；

（2）若點M是平面内的任意一點，在x軸上方是否存在點P，使得以點P，M，E，C為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出符合條件的M點坐标；若不存在，請說明理由．

【兩定兩動：斜線 抛物線】

3.（2018衡陽中考題，有删減）如圖，已知直線y=-2x 4分别交x軸、y軸于點A、B，抛物線過A、B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交抛物線于點D．

（1）若抛物線的解析式為y=-2x² 2x 4，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．

①求點M、N的坐标；

②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由．

菱形作為特殊的平行四邊形其存在性問題亦是分類讨論中的一大難點．此類題目多以直角坐标平面為背景．題幹中一般會給出兩個頂點，第三個點在某個可求的函數圖像上，在另一個函數的圖像上或直角坐标平面内，求能與之前的三個點構成菱形的第四個點的坐标．此類題目的一大難度在于如何合理分類的問題．若題幹中已知兩定點的話，可以把這兩定點連成的線段是菱形的一邊或者對角線進行分類讨論，再利用菱形的性質确定出其他的頂點的位置．

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