今天是高等數學第11篇文章，我們來看看定積分的相關内容。

對于很多人來說定積分的内容其實早在高中就已經接觸過了，比如在高中物理當中，我們經常使用一種叫做”微元法“的方法來解決一些物理問題。但實際上所謂的”微元法“本質上來說其實就是一種微積分計算方法。我們來看兩個簡單的例子。

微分與積分的例子

第一個例子是扇形的面積計算，先别急着笑，我知道這個是初中的内容。扇形的面積誰不會算，扇形的面積等于圓的面積乘上圓心角嘛。

圓的面積我們都知道 πr^2，如果是扇形的話，再加上圓心角，我們用弧度制來表示圓心角，可以直接進行計算：πrθ。

除此之外還有别的辦法嗎？

當然是有的，我們來看下面這張圖：

在下面這張圖當中，我們從扇形上切了一小塊出來，做了一個直角三角形。我們令這個直角三角形無限窄，那麼它的面積就可以近似于這一塊小扇形的面積。

直角三角形的面積很簡單，我們都會算，我們令短的直角邊長度是l。那麼這個小三角形的面積就等于1/2 rl。

我們如此操作，可以把這一塊扇形分割成無數個這樣的小三角形，最後我們把這些小三角形的面積全部加起來，就可以得到扇形的面積。由于l趨向于0，每一個小三角形和小扇形的面積差的極限都是0，所以可以近似看成它們相等。

這樣一番操作之後，我們可以用無數個小三角形的面積來代替扇形的面積。對于這些小三角形而言，它們的面積都是1/2 rl。把它們進行累加，本質上也就是把這些所有的短邊進行累加。那麼顯然，這些所有的短邊累加之後的結果就是扇形的弧長。

我們假設這塊扇形的弧長是L，那麼整個扇形的面積還可以表示成1/2rL。

我們可以簡單驗證一下，一個完整的圓也可以看成是一個扇形。一個完整的圓，它的弧長，也就是周長是2πr。我們代入剛才的公式，得到的結果和圓的面積公式吻合，所以我們的計算是正确的。

在這個例子當中扇形分割成的每個小三角形是一樣的，所以我們可以直接進行累加。如果我們微分之後的結果不再是固定的，是變化的，那麼應該怎麼辦？

我們再來看另外一個例子：

比如我們要求a和b兩點圍成的曲線矩形的面積，我們也可以将矩形進行拆分。我們可以無限拆分成多個小的矩形的面積去替代。我們可以很容易證明，當Δx趨向于0的時候，那一塊小的矩形面積和曲線矩形的面積相等。所以我們可以把它拆分成無數個這樣的矩形，然後将所有的面積求和，就得到了曲線圍成的面積。

對于每一塊矩形而言，它們的寬都是Δx，但是它們的高都不相同。但是很容易看出來，它們的高都是區間裡某一個坐标的函數值。其實我們可以寫出來這些序列的值，它們分别是: a, a Δx, a 2Δx, ..., b。

為了方便書寫，我們令這個序列等于 {ζ1, ζ2, ζ3 ... ζn} 所以曲線圍成的面積可以寫成：

定積分的定義

我們觀察一下上面這個問題，其實我們知道了很多信息，比如我們知道了函數f(x)，我們還知道了a和b的值，看起來已經離結果很近了。的确如此，但是在我們繼續往下之前，我們必須要明确一點，我們這樣的推算是有前提的。

最大的也是隐藏的前提就是我們做的劃分，我們必須要保證兩點，首先我們要保證當Δx趨向于0的時候，矩形高度的極限是确定的。并且這些小矩形的面積和的極限趨近于它真實的面積。

我們用數學的語言來表達，也就是說，我們無論如何選取每一個ζi，我們都要保證

是一個定值，這樣我們就可以把這個式子寫成定積分的形式：

這裡的f(x)稱作被積函數，f(x)dx稱為被積表達式，x叫做積分變量，a和b分别稱為積分的上限和下限。

如果f(x)在[a, b]上的定積分存在，那麼就稱為f(x)在區間[a, b]上可積。

什麼樣的函數可積呢？

這個問題要用數學的語言證明不太容易，但是如果從直觀上去理解則要簡單很多。通過上面的圖，我們很輕松可以得到結論：連續函數一定可積，并且如果函數在[a, b]上有界并且隻有有限個斷點也可積。因為有限個間斷點不會影響面積的計算，從這個角度入手，是否可積的判斷其實還是很好理解的。

我們明白了可導的定義之後，我們再把之前連續和可導這些性質串起來，我們就可以編出高數順口溜了：

可導一定連續，連續不一定可導。

連續一定可積，可積不一定連續。

可導一般可積，可積不一定可導。

理解并且記住這個順口溜可是學好高數的基礎，不信可以去問問考研黨，這幾句必然朗朗上口。如果覺得暈頭轉向也沒關系，以後有機會會單獨開一篇文章好好講講這幾個順口溜。

簡單性質

最後，我們來看下定積分的一些簡單性質。

第一個是加法性質:

這個很好證明，我們隻需要将它轉化成累加的形式就可以把括号裡相加的内容拆開：

另一個經常用到的性質是延續性質，假設f(x)在整個區間上可積，那麼我們可以得到：

不論a，b，c之間的大小關系如何，上面的式子都成立。證明方法和剛才一樣，我們将積分用累加形式來表示，代入即可。

最後一個性質是保号性，假設f(x)和g(x)在區間[a, b]上可積。并且對于任意x屬于[a, b]都有 f(x) <= g(x) ，那麼我們可以得到：

這個證明也很簡單，我們令 h(x) = g(x) - f(x) >= 0，我們對h(x)進行積分，得到的結果自然大于等于0，再結合剛才的積分的加法性質，我們就可以移項得到結果了。

除了上面提到的三個性質之外，定積分還有很多其他的一些性質。但是這些性質一則比較瑣碎，另外也比較直觀，值得研究的内容不太多，所以我們不過多涉入，感興趣的同學可以自行了解。

不知道看了這麼多你是不是會有一些問号呢，我們分析了這麼多，那麼定積分究竟應該怎麼計算呢？

這個問題先不着急回答，因為如果你學過微積分的話，那麼對于怎麼計算積分應該還有一些印象。如果沒有的話，直接給出結論并沒有什麼用，在數學上結論總是需要我們通過嚴謹的推導的，否則就是空中樓閣，即使記住了，以後也總會忘記的。所以關于定積分的計算推導過程，我們放到下一篇文章當中，敬請期待啦。

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